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拟去来。十岁遭父忧，叔父以其母寡独不立，逼使还俗。显曰“本不以有父而出家也。正欲远尘离俗，故入道耳。”叔父善其言，乃止。顷之母丧，至性过人，葬事既毕，仍即还寺。尝与同学数十人于田中刈稻。时有饥贼欲夺其谷。诸沙弥悉奔走，唯显独留，语贼曰“君欲须谷，随意所取。但君等昔不布施，故此生饥贫。今复夺人，恐来世弥甚。贫道预为君忧，故相语耳。”言讫即还。贼弃谷而去。众僧数百人莫不叹服。二十受大戒，志行明洁，仪轨整肃。
这里有几个问题要加以解释。首先是他的籍贯。《祐录》、《高逆命记燃文僧传》、《古今译经图纪》、《开元录》等书都说他是平阳武阳人。《历代三宝记》、《大唐内典录》则只说是“平阳沙门”。按当时只有平阳县，而无武阳县，后者的说法是正确的。平阳县城故址在今山西省临汾县西南。（参阅章巽《法显传校注》页2）
第二是他的生年。《祐录》没有说，其他书亦然。我们只能根据目前能掌握的资料加以推断。法显生年大概是公元342年，壬寅，晋咸康八年。（参阅章巽同上书，页—2）
第三关于“三岁便度为沙弥”的问题。小孩子常生病送入空门以求长寿的事情，屡见于中国载籍。法显时代竟已经如此。可见此时佛教已经深入人心了。
第四关于法显和同学刈稻的问题。在印度，佛教并不提倡僧人劳动。直到今天，斯里兰卡、缅甸、泰国等小乘国家的僧侣仍然靠乞食度日。在中国法显时代，寺院经济早已形成，寺院多有田地，除了靠雇工耕种外，小和尚也参加劳动。住持等大和尚是地主阶级，是不参加劳动的。《道安传》中也有劳动的记载。
二、西行求法的目的。
《祐录》原文常慨经律舛缺，誓志寻求。
《高僧传》完全抄《祐录》原文。这里虽然经律并提，然而重点在律。
《古今译经图纪》也抄录了《祐录》原文，《开元释教录》、《贞元新定释教目录》亦然。《历代三宝记》、《大唐内典录》有另外一个提法“求晋所无众经律论”。这提法太空泛，没有说到点子上。法显自己的话当然最有权威性。《法显传》第一句话就是“法显昔在长安，慨律藏残缺。”这里只提律藏，没有提经论。他在印度巴连弗邑，又写道“法显本心欲令戒律流通汉地。”可见他是念念不忘戒律的。这完全符合当时的潮流。同法显差不多同时的弗若多罗专精律部，来华后受到欢迎。在《梁高僧传》卷二《弗若多罗传》中就有这样的话“先是经法虽传，律藏未阐。”（50，333a；参阅任继愈主编《中国佛教史》第二卷，页）法显之所以万里投荒，其目的就是要寻求印度佛教戒律，以济中国佛教之穷。
三、出发时间。
《祐录》原文以晋隆安三年与同学慧景、道整、慧应、慧嵬等发自长安。
晋隆安三年相当于公元399年，后秦弘始元年。《法显传》作“弘始元年岁在己亥”。今传世各本《法显传》皆作“弘始二年”，乃弘始元年之误。《高僧传》卷三、《历代三宝记》卷七、《大唐内典录》卷三、《古今译经图纪》卷二、《开元释教录》卷三，皆作“东晋隆安三年”，是正确的。此时道安已经死去十余年，罗什到长安二年。
四、西域行程。
《祐录》原文西度沙河，上无飞鸟，下无走兽，四顾茫茫，莫测所之，唯视日以准东西，人骨以标行路耳。屡有热风、恶鬼，遇之必死。显任缘委命，直过险难。有顷，至葱岭。岭冬夏种雪，有恶龙吐毒风，雨沙砾。山路艰危，壁立千仞。昔有人凿石通路，傍施梯道。凡度七百余梯，又蹑悬絙过河数十余处。仍度小雪山，遇寒风暴起，慧景噤战不能前，语显云“吾其死矣，卿可时去，勿得俱殒。”言绝而卒。显抚之号泣曰“本图不果，命也奈何！”复自力孤行，遂过山险。凡所经历，三十余国，至北天竺。同《法显传》比较起来，这里的记述简略多了。在我上面列举的有关法显生平的九种书中，其他七种都可以归入简略一类，有的同《祐录》差不多，有的比它还要简略，都不及《法显传》之详审。我现在根据《法显传》补充法显在西域的活动。
法显离开长安，度陇，到了乾归国。乾归国指的是西秦乞伏乾归的都城金城，在今甘肃兰州市西。他在这里“夏坐”。所谓“夏坐”指的是印度佛教和尚每年雨季在寺庙里安居三个月。这是法显离开长安后第一次夏坐，时间是399年。夏坐完毕，他又前进至耨檀国，是南凉的都城，可能即今青海西宁市。从这里度养栖山至张掖镇。又在这里夏坐，这是400年的夏坐。从这里走到敦煌，太守李暠供给度沙河。《祐录》讲的也就是这个沙河，指的是自敦煌西至鄯善国间的大沙漠。过了沙河，来到了鄯善国，即古楼兰国，在今新疆若羌县。住此一月日，复西北行十五日，到焉夷国，即《汉书·西域传》之焉耆国，今新疆焉耆。在这里住二月余日，蒙苻公孙供给，得以前进。又经过一段沙漠，“所经之苦，人理莫比”。在道一月五日，到了于阗，相当于今天新疆和阗县。这里“其国丰乐，人民殷盛，尽皆奉法，以法乐相娱。众僧乃数万人，多大乘学”。法显在这里停三月日，看了行像。既过四月行像，法显等进向子合国，在道二十五日，便到其国，相当于今新疆叶城县。留此十五日，南行四日，入葱岭山，在于麾国安居。于麾国可能在今叶尔羌河中上游一带。这是法显的第三次夏坐（安居），时间是40年。安居后，行二十五日，到竭义国。竭义国穷在何处，为研究《法显传》的一大难题。（请参阅章巽前引书2—22页）日本学者足立喜六《法显传考证》认为竭义国即疏勒国。法显等在这里看到了五年大会。他们看了佛唾壶。此国当葱岭之中。“自葱岭已前，草木果实皆异，唯竹及安石留、甘蔗三物，与汉地同耳。”这里有竹子和甘蔗，值得注意。法显等从此西行向北天竺，在道一月，得度葱岭。
五、在印度的活动。
《祐录》原文未至王舍城三十余里，有一寺，逼暮仍停。明旦，显欲诣耆阇崛山。寺僧谏曰“路甚艰险，且多黑师子，亟经噉人，何由可至！”显曰“远涉数万，誓到灵鹫。宁可使积年之诚既至而废耶！虽有险难，吾不惧也。”众莫能止，乃遣两僧送之。显既至山中，日将曛夕，遂欲停宿。两僧危惧，舍之而还。显独留山中，烧香礼拜，翘感旧迹，如睹圣仪。至夜，有三黑师子来蹲显前，舐唇摇尾。显诵经不辍，一心念佛。师子乃低头下尾，伏显足前。显以手摩之，咒曰“汝若欲相害，待我诵竟；若见试者，可便退去。”师子良久乃去。明晨还反，路穷幽深，榛木荒梗，禽兽交横，正有一径通行而已。未至里余，忽逢一道人，年可九十，容服粗素，而神气俊远。虽觉其韵高，而不悟是神人。须臾前进，逢一年少道人。显问“向逢一老道人，是谁耶！”答曰“头陀弟子大迦叶也。”显方惋慨良久。既至山前，有一大石横塞室口，遂不得入。显乃流涕致敬而去。又至迦施国，精舍里有白耳龙，与众僧约，令国内丰熟，皆有信效。沙门为起龙舍，并设福食。每至夏坐讫日，龙辄化作一小虵，两耳悉白。众咸识是龙，以铜盂盛酪置于其中，从上座至下行之，遍乃化去。年辄一出，显亦亲见此龙。后至中天竺，于摩竭提巴连弗邑阿育王塔南天王寺，得《摩诃僧祇律》，又得《萨婆多律抄》、《杂阿毘昙心》、《綖经》、《方等泥洹》等经。显留三年，学梵书梵语，躬自书写。《祐录》篇幅比较大。《高僧传》基本上抄《祐录》，间或加上几句自己的话。对法显在印度的活动记述得都很不够。其他书更是异常简短。在印度的活动是法显一生最重要的事情。《法显传》主要篇幅写的都是印度。我现在先根据《法显传》对《祐录》作一些必要的补充，然后再对一些重要问题加以阐述。
到了北天竺，法显第一个到的国家是陀历，相当于今克什米尔西北部的达丽尔（）。这里和尚都是小乘。有一个木雕的弥勒像，同佛教传入中亚和中国有联系。唐玄奘《大唐西域记》卷三也记载了这一件事。
度河到了乌苌国，故址在今巴基斯坦北部斯瓦脱河流域。这里的和尚信奉小乘，有佛的足迹。法显在这里夏坐，是公元402年。
夏坐后，南下，到了宿呵多国，相当于今斯瓦脱河两岸地区。这里有如来佛割肉贸鸽处，信徒起塔纪念。
从此东下，走了五天，到了犍陀卫国，其故地在今斯瓦脱河注入喀布尔河附近地带。国人多小乘学。有佛以眼施人的遗迹。是古代阿育王子法益统治之处。
自此东行七日，到了竺刹尸罗国，相当于今巴基斯坦北部拉瓦尔品第西北的沙汉台里地区。佛为菩萨时，在这里以头施人，投身饲虎，这两处都起了大塔。
从犍陀卫国南行四日，到了弗楼沙国，故址在今巴基斯坦之白沙瓦。公元一二世纪的贵霜王迦腻邑迦曾统治此地。这里有大塔，有佛钵。
西行十六由延，到了那竭国界醯罗城。由延，印度长度名。根据玄奘《大唐西域记》卷二的说法，是“圣王一日单行”。但是并不固定，有四十里、三十里、十六里等说。醯罗城，今贾拉拉巴德城南之醯达村。这里有如来佛顶骨精舍。这个精舍名声广被，《洛阳伽蓝记》、《大唐西域记》卷二等都有记载。从此北行一由延，来到那揭国城，故址在今贾拉拉巴德城西。这里有菩萨以五茎花供养定光佛处。城中还有佛齿塔。城东北有佛锡杖精舍。城南有佛留影处。
法显等在这里住了冬天三个月，然后南度小雪山，慧景病死。这件事《祐录》有记载。但是有一件事颇值得注意。《祐录》认为从此进入北天竺；但是《法显传》却认为，到了陀历国，已进入北天竺。
过岭以后，南到罗夷国。有三千和尚，大小乘都有。法显在这里夏坐，这是他西行后第五年，公元403年。
南下，行十日，到跋那国，今巴基斯坦北部之邦努（bau）。这里有三千小乘僧。
从此东行三日，复渡新头河，到了毗荼，今旁遮普。佛法兴盛，大小乘都有。
从此东南行，经过了很多寺院，进入了中天竺。先到摩头罗国，即今印度北方邦之马土腊。遥捕那河流经此处，即今之朱木拿河。河边左右有二十僧伽蓝，可有三千僧。
从这以南，名为中国。法显在这里写了一段非常有名的记载，我在下面还要谈到。
从此东南行十八由延，到了僧伽拖国，即玄奘《大唐西域记》卷四之劫比他。至于相当于今天什么地方，学者间意见有分歧，总之是在今北方邦西部。此地佛教遗迹颇多，有佛上忉利天为母亲说法处。下来时，地上化出三道宝阶，后来又没于地，余有七级现，阿育王于其上起精舍。佛在天上受天食，身作天香，于此处沐浴，浴室犹在。此外还有一些其他的塔。此处有僧尼千人，杂大小乘学。这里有一个白耳龙。《祐录》也记载了这一件事，称之为迦施国，但是次序有些混乱。寺北五十由延有火境寺。别有佛塔，鬼神常来洒扫，不须人工。有一僧伽蓝，可六七百僧。法显住龙精舍夏坐，这是他西行第六年的夏坐，时为公元404年。
夏坐完毕，东南行七由延，到了罽饶夷城，即《大唐西域记》卷五之羯若鞠阇国曲女城，今之北方邦卡瑙季城。有二僧伽蓝，尽小乘学。
从此东南行十由延，到了沙祇大国，即今北方邦中部之阿约底。有佛嚼杨枝长出来的大树。
从此北行八由延，到了拘萨罗国舍卫城，今北方邦北部腊普提河南岸之沙海脱—马海脱。这里佛教遗迹很多有大爱道故精舍、须达长者井壁、鸯掘魔得道、般泥洹、烧身处。出城南门千二百步，有须达精舍，即所谓祇洹精舍。这里有牛头栴檀佛像。精舍西北四里有榛，名曰得眼。精舍东北六七里，有毗舍佉母精舍。祇洹精舍大院落有二门，一东向，一北向，这里就是须达长者布金满园买地之处。出东门，北行七十步，有外道女伪装怀孕谤佛处，又有调达生入地狱处。道东有外道天寺，名曰影覆，只能世尊精舍影映外道寺，而外道寺则决不能影映精舍。绕祇洹精舍有九十八僧伽蓝，除一处外，都住有和尚。在中国有九十六种外道，各有徒众。《法显传》在这里有几句话“调达亦有众在，供养过去三佛，唯不供养释迦文佛。”佛灭度后一千多年，似乎已经被他打倒在地的对手调达（提婆达多）居然还有徒众，不能不说是佛教史上的一件大事。
城西五十里，有一邑，名都维，有迦叶如来遗迹。东南行十二由延，到那毗伽邑，有拘楼秦佛遗迹。从此北行，不到一由延，有拘那舍牟尼佛遗迹。从此东行，不到一由延，到了迦维罗卫城，即《大唐西域记》卷六之劫比罗伐窣堵国，在今尼泊尔境内，与印度北方邦毗邻。这里是释迦牟尼诞生之地，古迹特多。佛传中少年所发生的许多事情都在这里留有痕迹。城东五十里有王园论民，佛就在这里降生。论民在今尼泊尔境内腊明地（）。法显到的时候，此城已空荒颓败，白象、狮子横行。
从佛生处东行五由延，到了蓝莫国，今尼泊尔达马里附近。这里有蓝莫塔，荒芜已久，原来没有僧人，群象以鼻取水洒地，折花供养。后来有道人还作沙弥，至今仍以沙弥为寺主。从此东行三由延，有太子遣还车匿塔。再东行四由延，有炭塔。
复东行十二由延，到拘夷那竭城，即《大唐西域记》卷六之拘广那揭罗国。此城故址何在，学者意见分歧。很可能即在今尼泊尔南境小腊普提河和干达克河合流处之南。（参阅章巽前引书，89—9页）城北双树间，希连河边，是世尊般涅槃处。因而在佛教史上成为著名胜地。
从此东南行十二由延，到了诸犁车欲逐佛般泥洹处。
自此东行五由延，到毗舍离国，即《大唐西域记》卷七之吠舍厘国，都城故址在今比哈尔邦北部木札法普尔地区之比沙尔。这里如来佛遗迹也特别多。有佛住处、阿难半身塔、庵婆罗女为佛起的塔，有庵婆罗园，有放弓仗塔，有毗舍离结集或七百结集的塔。
从此东行四由延，到五河合口，有阿难般涅槃塔。
度河南下一由延，到摩竭提国巴连弗邑，即《大唐西域记》卷八、卷九之摩揭陀国，今比哈尔邦之巴特那。这里有一个大乘婆罗门子，名罗沃私婆迷，为国王所敬奉。据《祐录》卷十五《智猛传》智猛在法显后不久也来到华氏城，即巴连弗邑，在这里遇到一个“大智婆罗门”，名罗阅宗，从他家里得到《泥洹》胡本一部，又寻得《摩诃僧祇律》一部及余经。罗沃私婆迷与罗阅宗是一个人。巴连弗邑是该国最大的城，人民富盛，每年行像，倾城参与。这里原是阿育王都城，他的遗迹很多。
从此东南行九由延，至一小孤石山，山头有石室。从此西南行一由延，到那罗聚落，是舍利弗本生村，有塔。
从此西行一由延，至王舍新城。即《大唐西域记》卷九之易罗阇姞利呬城，故址在今印度东北部比哈尔邦西南的腊季吉尔。出城南四里，入谷到了■沙王旧城。这里有不少佛教遗迹。再入谷，搏山东南上十五里，到耆阇崛山，这就是有名的灵鹫峰。下面就接上了《祐录》。
以上是根据《法显传》对《祐录》的补充。补充得这样多，可见《祐录》记载不够全面。《祐录》还有一个特点一进北天竺，就讲王舍城，紧接着又是耆阇崛山，法显在这里见到了如来大弟子大迦叶。但是在《法显传》中，这件事不是发生在耆阇崛山，而是在鸡足山。这件事下面再谈。现在仍根据《法显传》补上《祐录》所缺部分。
出旧城北行三百余步，到了迦兰陀竹园精舍。这里还有不少佛教遗址。
佛教史上著名的五百结集就是在这里举行的。
从此西行回由延，到了伽耶城，今比哈尔邦之伽雅城。这是佛教史上最著名的圣地，因为这里是释迦牟尼成道之处。佛传上讲到的那一些与如来成道有关的地方，都在伽耶城，比如六年苦行处、村女奉佛乳糜处、静坐的石窟等等。如来坐于其下悟道的贝多树，也就是所谓的菩提树，当然也在这里。阿育王作地狱，残酷杀人，后又悔过，敬信三宝，经常来贝多树下礼佛。从此南行三里，到一山，名鸡足，大迦叶今在此山中住。《祐录》在这里用很长的篇幅介绍了法显遇到大迦叶的情景，见上面《祐录》原文，兹不赘。
在这里有必要讲一讲与大迦叶有关的这个传说的意义。大迦叶是如来佛大弟子，可能实有其人。他生活在公元前六、五世纪，为什么要住在鸡足山洞窟内能够同一千年后公元五世纪初的法显见面而又再隐入山内还要住下去呢？这只能从印度佛教的发展方面来加以解释。在最初的发展阶段上，佛教自己宣称，有朝一日，它也会消亡的，还没有一个未来佛的想法。后来随着教义的发展，想法逐渐改变，开始有了三世诸佛的说法，有了未来佛的想法。未来佛就是弥勒。弥勒，大小乘都有，小乘只不过是滥觞；到了大乘才发展成为一个完整的体系。弥勒信仰曾广泛流行于印度、中亚；在中国新疆和内地也同样盛行。今天寺庙中那一个大肚子佛就是弥勒。《祐录》绘形绘色描绘法显遇到大迦叶的情景，但是《法显传》却讲得不那么清楚。在这两处都没有讲到弥勒。可是大迦叶之所以住在鸡足山中却与弥勒有关。这种关系始于何时，还不清楚。不过佛教典籍确实明确讲到过。宋志磐《佛祖统纪》卷五（49，70b）；元念常《佛祖历代通载》卷三（49，49—497a）；明觉岸《释氏稽古略》卷一（49，952b），等等，都记载了这个传说。这些都是中国僧人的撰述，当然是根据印度佛典的。印度佛典记述这个传说的也不少，我举一个例子。西晋（25—37）安法钦译《阿育王传》卷四《摩诃迦叶涅槃因缘》（50，4a—b）写道于是尊者迦叶至鸡脚山三岳中，坐草敷上，加趺而坐，作是念言“我今此身著佛所与粪扫衣，自持己钵，乃至弥勒令不朽坏，使弥勒弟子皆见我身而生厌恶。”弥勒出时，当将徒众九十六亿至此山上见于迦叶。
可见至迟在公元三四世纪，有关大迦叶住鸡足山中等候未来佛弥勒的传说，在印度已经流行了。为什么晚起的未来佛弥勒的传说一定要同释迦牟尼的大弟子大迦叶联系在一起呢？原因可能是，印度佛教从比较早的时候起就有了在灵山会上如来拈花、迦叶微笑的传说。我认为，这个传说隐含着佛教长存的想法，是对最早的佛教也要消亡说的纠正或者发展。这在佛教史上是一段很有意义的公案。《法显传》和《祐录》都记载了这一件事，自有其重要性的。
下面接着谈法显的行踪。
法显又回到巴连弗邑。顺恒水西下十由延，到了旷野精舍。复顺恒水西行十二由延，到了迦尸国波罗■城，即《大唐西域记》卷七之婆罗■斯，今印度北方邦之瓦拉纳西，《祐录》称之为迦施国。这里佛教遗迹也很多。有名的仙人鹿野苑精舍，是佛初转法轮的地方，就在这里。此外还有弥勒受记处，翳罗钵龙精舍，《祐录》中的白耳龙就是这一条龙。
自鹿野苑精舍西北行十三由延，到拘晱弥国，即《大唐西域记》卷五之■赏弥，今北方邦南部阿拉哈巴德西南之柯散（osm）。
《祐录》中的“后至中天竺”，疑有误，法显所有的上述活动都在中天竺，用不着“后至”了。
从此南行二百由延，有达嚫国，即平常所谓南■萨罗国，相当今印度中都马哈纳迪河及哥达瓦里河上游一带地区。这里有伽叶佛僧伽蓝。但是，此国道路艰难，法显没有能亲身去，只是听本地人说到，故记入《法显传》中。法显又回到巴连弗邑，亲自抄写戒律。因为北天竺诸国皆师师口传，无本可写，不得不躬亲抄写了。他在这里住了三年，按时间推算应该是法显西行后的第七年——第九年，即义熙元年——三年（）。
顺恒水东下十八由延，有瞻波大国，今比哈尔邦东部巴格耳普尔略西不远处。
从此东行近五十由延，到多摩梨帝国，是海口，即《大唐西域记》卷十之耽摩栗底国，其首都故址在今印度西孟加拉邦西南之坦姆拉克（）。法显在这里住了两年，写经及画像。此当为义熙四年及五年（）。法显在印度的活动到此结束。
六、在师子国。
《祐录》原文于是持经像寄附商客，到师子国。显同旅十余，或留或亡，顾影唯己，常怀悲慨，忽于玉像前见商人以晋地一白团扇供养，不觉凄然下泪。停二年，复得《弥沙塞律》、《长阿含》、《杂阿含》及《杂藏》本，并汉土所无。《高僧传》完全抄《祐录》原文。《法显传》比较详细，其他几种书都很简略。我现在根据《法显传》作一些补充。师子国，《大唐西域记》卷十一称之为僧迦罗国，一意译，一音译，即今之斯里兰卡。据说这里原来没有人，后来商人贪图这里的宝石，于是遂成大国。这里有纪念佛来此化恶龙的大塔。有无畏山僧伽蓝，法显见故国白扇而流泪就在这座寺院里。有前王从印度中国取来的贝多树，有声名远扬的佛牙。在无畏精舍东四十里，有跋提精舍，有二千和尚。城南七里有摩诃毗诃罗精舍，和尚三千人。这里的国王笃信佛法，因此佛教非常兴盛。法显在这里听到天竺道人诵经，内容讲的是佛钵。他想写这一部经，但是道人说，只是口诵，因此没有能写成。法显在这里住了两年，当为义熙六年及七年（40、4）。
七、浮海东还。
《祐录》原文既而附商人大舶还东，舶有二百许人。值大暴风，舶坏入水，众人惶怖，即取杂物弃之。显恐商人弃其经像，唯一心念观世音及归命汉土众僧。大风昼夜十三日，吹舶至岛下，治舶竟前，时阴雨晦冥，不知何之，唯任风而已。若值伏石及贼，万无一全。行九十日，达耶婆提国。停五月日，复随他商侣东趣广州。举帆月余日，中夜忽遇大风，举舶震惧。众共议曰“坐载此沙门，使我等狼狈，不可以一人故令一众俱亡。”欲推弃之。法显檀越厉声呵商人曰“汝若下此沙门，亦应下我；不尔，便当见杀！汉地帝王奉佛敬僧，我至彼告王，必当罪汝！”商人相视失色，g俛而止。既水尽粮竭，唯任风随流。忽至岸，见藜藿菜依然，知是汉地，但未测何方。法显就是这样又回到了祖国。《祐录》记载已极细致生动，《法显传》也不过如此，用不着再作什么补充了。八、回国后的译经活动和卒年。
《祐录》原文即乘小舶入浦寻村，遇猎者二人，显问“此何地耶？”猎人曰“是青州长广郡牢山南岸。”猎人还，以告太守李嶷。嶷素敬信，忽闻沙门远至，躬自迎劳，显持经像随还。顷之，欲南归。时刺史请留过久，显曰“贫道投身于不返之地，志在弘通。所期未果，不得久停。”遂南造京师，就外国禅师佛驮跋陀，于道场寺译出《六卷泥洹》、《摩诃僧祇律》、《方等泥洹经》、《綖经》、《杂阿毗昙心》，未及译者，垂有百万言。显既出《大泥洹经》，流布教化，咸使见闻。有一家，失其姓名，居近杨都朱雀门，世奉正化，自写一部读诵供养。无别经室，与杂书共屋。后风火忽起，延及其家，资物皆尽，唯《泥洹经》俨然具存，煨烬不侵，卷色无异。扬州共传，咸称神妙。后到荆州，卒于新寺，春秋八十有二，众咸恸惜。其所闻见风俗，别有传记。《高僧传》几乎完全抄《祐录》。《法显传》比《祐录》详细，再根据它作一点补充。上岸以后，商人又乘船还向扬州。法显受到了李嶷的款待以后，由陆路南下，道过彭城，受青兖刺史刘道怜之请，住了一冬一夏，在这里夏坐，时间是义熙九年（43）。关于这个问题，足立喜六（见前引书，29页）认为，法显随商人航海南至扬州。汤用彤（见所著《往日杂稿》2—30页；参阅章巽前引书，75页）不同意足立喜六意见。
法显本来想到长安去，未果，便转向建康（今南京），在这里翻译佛经。除了上面《祐录》中提到的那些佛经外，还写了一部《法显传》（此书名称繁多，参阅章巽前引书，3—24页）。后来死在荆州新寺。年龄《祐录》说是八十二，《高僧传》为八十六。
结语上面简略地叙述了法显一生的活动情况。在这个结语里我想谈两个问题第一个是法显在中国佛教史上的地位；第二个是《法显传》在世界上产生的影响。
一、法显在中国佛教史上的地位。
上面已经谈过，佛教从印度传入中国，到了法显时代，达到了一个关键时刻，一个转折点，从过去的基本上是送进来的阶段向拿进来的阶段转变。晋末宋初的西行求法运动，就是在这样的情况下兴起来的。
根据汤用彤先生的《汉魏两晋南北朝佛教史》的统计，西行求法活动自朱士行而后，以晋末宋初为最盛。这时期最知名的求法者有以下一些人康法朗和其他四人，见《高僧传》卷四；于法兰，见同上书、卷；竺佛念，见《高僧传》卷一；慧常、进行、慧辩、见道安；《合光赞放光随略解》；慧叡，见《高僧传》卷七；支法领、法净，见《高僧传》卷六《慧远传》；法显、智严、智羽、智远、宝云、慧简、僧绍、僧景、慧景、道整、慧应、慧嵬、慧达，见《法显传》、《祐录》卷十五《法显传》、《智严传》、《宝云传》；昙学、威德等八人，见《祐录》卷九；僧纯、昙充、道曼，见《祐录》卷十一；智猛与昙纂、竺道嵩等十五人，见《高僧传》卷三；法勇、僧猛、昙朗等二十五人，见《高僧传》卷三；沮渠京声；道泰；法盛共师友二十九人，见《名僧传抄》；僧表，见同上书；法维；道普。
在所有这一些西行求法者中，法显无疑是最突出的一个。这里所谓“突出”，归纳起来约略表现在以下几个方面（一）法显旅行所到之地最多、最远。
在法显以前，在汉代，中国已经有了一些著名的旅行家，比如张骞和甘英，这是众所周知的。他们到的地方很远，很远；但是法显到的地方，他们却没有到过。这一点《高僧传》、《法显传》和唐智昇《开元释教录》，卷三都指出“皆汉时张骞、甘父所不至也。”（见，507）这对于中国人民对外开阔视野、认识外国，当然会有极大的帮助。其重要意义是显而易见的。
（二）法显真正到了印度。
既然西行寻求正法，其最终目的地当然是正法所在的印度。然而，奇怪的是，在法显之前，真正到了印度的中国求法僧人几乎没有。汤用彤先生说“故海陆并遵，广游西土，留学天竺，携经而反者，恐以法显为第一人。”（《汉魏两晋南北朝佛教史》，380页）这件事情本身意义就很重要。法显以后，到了印度的中国求法僧人逐渐多起来了。
（三）法显携归翻译的戒律起了作用。
法显到印度去的目的是寻求戒律。他经过了千辛万苦，确实寻到了，其中最重要是《摩诃僧祇律》四十卷。归国后，他同佛陀跋陀罗共同译出。汤用彤先生认为这是法显求法所以重要的原因之一。这对于中国当时的僧伽来说，宛如及时的春雨，对佛教的发展，起了促进作用。
（四）法显对大乘教义发展和顿悟学说的兴起起了作用。
我们认为，世界宗教的发展是有共同规律的。这个规律可以用如下的方式来表述用越来越少的努力（劳动）得到越来越大的宗教满足。人类中有不少人是有宗教需要的。这并不完全来自阶级压迫，很大一部分是来自人并不能完全掌握自己的命运这个事实。只简单地说一句宗教是人民的鸦片烟，什么问题也不能解决。一般人的解决办法是创造和相信这一种或那一种宗教。在宗教的最初发展阶段上，满足宗教需要必须费很大的力量，付出很大的劳动。这样一来，不可避免地就会同生产力的发展发生矛盾，而生产力的发展又是维持社会存在的必不可少的前提。在这里，宗教就施展出自己固有的本能适应性。在不影响满足宗教需要的情况下，竭力适应生产力的发展。这个规律适用于所有的世界性的宗教。专就印度佛教而论，由小乘向大乘的过渡就是这个规律的具体表现。在中国两晋南北朝时期，顿悟学说的兴起，其背后也是这个规律。小乘讲渐悟，讲个人努力，也并不答应每个人都能成佛，换一个术语来说，就是每个人不都有佛性。想成佛，完全依靠个人努力。如果每个人都努力去成佛，生产力必然受到破坏，社会就不能存在。这是绝对不行的。大乘在中国提倡顿悟成佛，讲虔诚信仰，只需虔心供养，口宣佛号，则放下屠刀，立地成佛，何等轻松惬意！这样既然满足宗教需要，又不影响生产力的发展。佛教凭借了这种适应性，终于得到了发展。
但是提倡顿悟学说是并不容易的。首倡者为竺道生。在他之前，可能已有这种思想的萌芽，集大成者是竺道生。他那“一阐提皆有佛性”是非常著名的论断。“一阐提”是梵文的音译，意思是“十恶不赦的恶人”。连这种人都有佛性，其余的人就不必说了。法显在这里也起了作用。他从印度带回来并且翻译了的《六卷泥洹》中就隐含着“一切众生悉成平等如来法身”的思想。（见《祐录》此书的《出经后记》）道生倡顿悟义，不知始自何年。据《高僧传》，卷七《竺道生传》又《六卷泥洹》先至京师，生剖析经理，洞入幽微，乃说一阐提人皆得成佛。（50，3，《祐录》文字稍异，55，a）
这里明说，竺道生受到了法显《六卷泥洹》的影响。此说一出，守旧的和尚群起而攻之，他们都认为道生之说为异端邪说。不久，昙无谶译出了《大般涅槃经》，其中果有此说（见2，393b），于是众僧咸服。
以上从四个方面论列了法显在中国佛教史的突出地位。可能还有别的方面，这里不再讨论了。
二、《法显传》在世界上的影响。
法显的功绩主要在于取经和翻译。他携归和翻译的经历代经录都有著录，请参阅《祐录》卷二以及其他经录，这里不再胪列。但是他写的《法显传》对于世界的影响却远远超过了他的翻译对于中国的影响。《法显传》在历代著录中有很多不同的名称，比如《佛游天竺记》、《释法显行传》、《历游天竺记》、《佛国记》、《历游天竺记传》、《释法显游天竺记》、《佛游天竺本记》、《释法明游天竺记》、《法明游天竺记》、《历游天竺记传》、《法显记》等等，名称固繁，版本亦多（请参阅章巽前引书显传》在国际上的影响，首先表现在它的外文译本之多上。根据章巽的统计（见同上书，页30），共有英译本三，译者为）、日译本三，译者为足立喜六《考证法显传》（935）、《法显传——中亚、印度、南海纪行研究》（940）和长泽和俊（970）。既然有了这样多的译本，那就必然有相应多的影响。在这里专门谈一谈《法显传》对印度的影响。众所周知，印度古代缺少真正的史籍，这一点马克思曾指出过。因此，研究印度古代历史，必须乞灵于外国的一些著作，其中尤以中国古代典籍最为重要，而在这些典籍中，古代僧人的游记更为突出。僧人游记数量极多，而繁简不同，时代先后不同。《法显传》是最古的和最全的之一。一向被认为与唐玄奘的《大唐西域记》和义净的《大唐西域求法高僧传》、《南海寄归内法传》鼎足而三。研究印度古代史的学者，包括印度学者在内，都视之为瑰宝。有一位著名的印度史学家曾写信说“如果没有法显、玄奘和马欢的著作，重建印度历史是不可能的。”
关于《法显传》对印度历史研究的重要性，兹举一个具体的例子。印度学者高善必是优秀的数学家，同时又是最优秀的史学家。他在印度古代史方面著述宏富，而且是用历史唯物主义的观点来探讨历史问题，时有石破天惊之论，在国际上享有盛誉。他的代表作是《印度史研究导论》（y，95）。本书第九章讨论的主题是“自上而下的封建主义”。讲到早期封建制的发展时，他引用了《法显传》关于中天竺的一段文字从是以南，名为中国。中国寒暑调和，无霜、雪。人民殷乐，无户籍官法，唯耕王地者乃输地利，欲去便去，欲住便住。王治不用刑罔，有罪者但罚其钱，随事轻重，虽复谋为恶逆，不过截右手而已。王之侍卫、左右皆有供禄。举国人民悉不杀生，不饮酒，不食葱蒜，唯除旃荼罗。旃荼罗名为恶人，与人别居，若入城市则击木以自异，人则识而避之，不相唐突。国中不养猪、鸡，不卖生口，市无屠、酤及估酒者。贸易则用贝齿，唯旃荼罗、猪师卖肉耳。自佛般泥洹后，诸国王、长者、居士为众僧起精舍供养，供给田宅、园圃、民户、牛犊、铁券书录，后王王相传，无敢废者，至今不绝。这一段文字异常重要，它把印度公元400年左右在笈多王朝月护二世（超日王）统治下的中国描绘得具体而生动。高善必根据这一段文字做了如下的分析。官吏们还没有得到封建权利和权力。中国以外的土地一定要缴纳租税的，一般是收获粮食的六分之一。大概是这个帝国中心地带受到的特别优惠，赋税比较少。在农村中一定有酿酒人和负贩。农民可以来去自由，表明没有农奴制。至于供给僧众田宅、园圃、民户、牛犊等东西，怎样解释？还是一个问题。外文翻译者各有各的理解。从标准的土地馈赠来判断，馈赠的只是收租权，而不是土地所有权（见上引书，页）。
除了高善必以外，所有研究印度古代史特别是笈多王朝时代的历史的学者，不管是印度的，还是其他国家的，没有一个不引用《法显传》的。我再举一个例子。印度史学家的《印度佛教文化之研究》（，vara是一部非常优秀的书。著者在本书中许多地方都引用了《法显传》。比如，在页3和页258讲到弥勒崇拜和乌苌国的首都时，都引用此书关于陀历国的记载。在页讲到佛教在印度衰微时，引用此书关于摩头罗国的记载“有遥捕那河，河边左右有二十僧伽蓝，可有三千僧，佛法转盛。”他又引用玄奘《大唐西域记》，卷四关于秣菟罗国的记载“伽蓝二十余所，僧徒二千余人。”同一个地方，相隔几百年之后，伽蓝的数目没有变，僧人却减少了一千人，衰微的情况清晰可见。这样的例子，著者还举了一些。从上面几个简略的例子里可以看出，《法显传》对研究印度中世纪佛教，有多么重要的意义。
我还想再举两个例子。一个是印度当代著名的史学家r的《古代印度的首陀罗》（）这是一部颇为著名的书，得到印度国内外学者们的广泛赞誉。在本书第七章讲农民阶级与宗教权利时，著者在四处引用了《法显传》，都是上面高善必引用的那一段。页28，引用“不食葱蒜，唯除旃荼罗”，页，引用“旃荼罗潜入城市，则击木自异，人则识而避之，不相唐突”。第二个例子是（《笈多文化论集》）。这是一部论文集，著者不是一个人，讨论的题目也不尽相同。其中有几篇文章引用了《法显传》在序言中讲到旃荼罗入城市击木自异的情况在《古代印度特别是笈多时期的宗教政策和宽容》这一篇论文中，引用了《法显传》来说明当时佛教兴隆的情况。页30、32、3在《笈多时期的佛教》这一篇论文中，引用了《法显传》来说明月护王（37—44）时期的印度佛教状况，特别是佛教寺院中研究经、律、论的情形。
除了以上四本书以外，引用《法显传》的书籍还多得很，这里无法一一列举了。
我在上面先介绍了晋宋时期中国佛教发展的情况，然后介绍了法显的生平和他对中国和世界的影响。总起来可以这样说，法显活动的两晋南北朝时期是中国佛教发展和中印文化交流的高峰时期之一。他留下的佛典译文，特别是他的《法显传》，到现在仍然保留着自己的活力，起着相当大的影响。他对促进中印两国的文化交流和人民的传统友谊，也有不可磨灭的功绩。《法显传·跋》中有几句话“于是感叹斯人，以为古今罕有。自大教东流，未有忘身求法如显之比。”法显是当之无愧的。中国人民永远不会忘掉他，印度人民也不会忘掉他。
第二十三章数学秦汉时期《九章算术》的出现，是中国古代数学体系初步形成的标志。
在此基础上，三国两晋南北朝时期的数学研究和数学教育又有了显著的发展。在这一时期撰写的数学书不下数十种，仅《隋书·经籍志》所载就有二十余种。其中如赵爽《周髀算经注》，刘徽《九章算术注》和《海岛算经》，《孙子算经》，《张丘建算经》，甄鸾《五曹算经》、《五经算术》和《数术记遗》等，都是重要的数学典籍，后被收入有名的“算经十书”而一直流传至今。南北朝时祖冲之所著《缀术》，是一部内容丰富的数学专著，可惜已经失传。这些数学著作记载了这一时期数学家在勾股算术、重差术、割圆术、圆周率、球体积公式、线性方程组解法、二次和三次方程解法、同余式和不定方程解法等方面所取得的新成果，充实和发展了以《九章算术》为代表的中国古代数学体系。特别应该提到的是，刘徽在魏陈留王景元四年（23）作《九章算术注》。他在注释中对于《九章算术》的大部分数学方法作出了相当严密的论证，对于一些概念给出了明确的解释，从而为中国古代数学奠定了坚实的理论基础。他所提出的许多新的思想、方法、原理和获得的新成果，对后世数学发展产生了积极的和深远的影响。祖冲之是刘徽以后又一位杰出的数学家。他的圆周率值，是举世公认的重大数学成就，在数学史上占有突出的地位。三国两晋南北朝时期形成了中国古代数学发展过程中继两汉之后的又一个高潮。
第一节勾股定理和重差术勾股定理是中国古代几何学中一个最基本的定理。在中国古代，勾股定理的一般形式a2+（a、b、表示直角三角形的三边），最早见于《周髀算经》。《九章算术》则进一步给出计算勾股数的一组公式∶∶∶∶=-+其中m∶=（+a）∶b，这是整数论的重要成果。但是，这两部书的共同缺欠是仅有公式而没有证明。据现有记载，首先对有关勾股问题给出证明的是三国时孙吴数学家赵爽。赵爽，字君卿，约生活于公元3世纪初，生平不详。曾为《周髀算经》撰序作注，对于书中阐述的盖天学说和四分历法作了较详尽的注释。赵爽《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》，全文五百余字并附有六幅插图（原图已失传，现传本《周髀》中的图是后人所补）。这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成就，给出并证明了有关勾股形三边及其和、差关系的二十多个命题。他的证明主要依据几何图形面积的换算关系，例如利用弦图证明公式）2，利用面积换算证明由勾弦差（-a）与股弦差（-b）求勾、股、弦的公式等。刘徽在《九章算术注》中更明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理。这个原理的内容是几何图形经分合移补所拼凑成的新图形，其面积（或体积）不变。刘徽根据出入相补原理证明了勾股定理，改进了勾股数的计算公式，并将其广泛应用于解决勾股容方、勾股容圆和立体体积等各种几何问题。这种简明直观具有独特风格的几何证明方法，与古希腊欧几里得几何学思想是根本不同的。
勾股测量是勾股定理的一项重要实际应用。《九章算术》中的例题表明，勾股测量是解决一些简单测量问题的有效手段。这种测量方法起源很早，传说大禹治水的时候就已经采用了。在《周髀算经》和张衡《灵宪》中也都有所论述。《周髀算经》里记载的陈子测日法，通过两次测量结果进行推算，发展了勾股测量方法。这实质上就是东汉时期的天文学家和数学家所创立的重差术。把重差术用于测算太阳的高度和距离，当然不可能得到正确的结果。但是，如果用于测量和推算远处目标的高度、深度、宽度和距离，无疑是一种有效的方法。赵爽在《周髀算经注》的《日高图注》中，利用几何图形面积的关系，给出了重差术的证明。刘徽在《海岛算经》中通过九个实例，对于重差术作了系统的总结，并且提出根据三次和四次测量结果的推算公式，用以解决复杂的测量问题。重差术是当时世界上最先进的用于测量的数学方法。中国古代绘制地图的工作取得了卓越的成就，长沙马王堆出土的西汉初期帛画地图，其精确程度就已令人叹服，后来又有所进步，这与测量数学有较高水平是分不开的。
第二节割圆术和圆周率中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，。这个数值与文化发达较早的其他国家所用的圆周率相同。但是，这个数值误差很大，后来的数学家不断努力去探求更精确的结果。据公元世纪初制造的新莽嘉量斛（一种圆柱形标准量器）推算，其圆周率值应是。世纪初，东汉天文学家张衡分别取用和π≈。三国时东吴王蕃取π＝中最突出的是魏晋之际的杰出数学家刘徽。刘徽生活在魏晋时期，生平不详，曾作《九章算术注》九卷，另撰《重差》一卷附于《九章》之后，两者并为十卷。唐初以后《重差》另本单行，被称为《海岛算经》。此外，他还撰有《九章重差图》一卷，已失传。刘徽是中国传统数学理论的奠基者和代表人物，他的主要贡献之一是在《九章算术注》中创造了“割圆术”，为圆周率研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法。刘徽割圆术的基本思想是用圆内接正多边形的周长和面积逼近圆周长和圆面积。逼近的最终结果，正如他所指出的“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，即极限情形是两者完全重合。刘徽从圆内接正六边形算起，一直到求出圆内接正9边形边长和正92边形的面积得到π继续求出圆内接正边形的面积得到π,,,这两个结果是比较好的，现在还经常使用，其计算程序也比古希腊数学家阿基米德的类似方法简便得多。继刘徽之后，南北朝时祖冲之把圆周率推算到更加精确的程度。祖冲之是我国历史上最杰出的数学家、天文学家和机械发明家，本编别有传。祖冲之著有《缀术》、《九章算术注》、《大明历》、《驳戴法兴奏章》、《安边论》、《易老庄义》、《论语孝经释》、《述异记》等，《隋书·经籍志》还载有《长水校尉祖冲之集》5卷，但大部分已失传。他的数学专著《缀术》，唐代收入《十部算经》，立于学官，要学习四年，并曾传到朝鲜、日本，但也已失传。关于圆周率问题，据《隋书·律历志》记载，祖冲之求出π的不足近似值3.4592和过剩近似值，并确定π的真值在这两个近似值之间精确到小数七位。这是当时世界上最先进的成果，直到约一千年后才为5世纪中亚数学家阿尔·卡西和世纪法国数学家韦达所超过。至于他得到这两个数值的方法，一般认为是基于刘徽割圆术。祖冲之还确定了π的两个分数形式的近似值约率π≈，率π≈。这两个值都是π的渐近分数。其中约率早已为阿基米德和何承天所知，密率则是祖冲之首创。密率53是如何得到的，有调日法术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等多《九章算术》方田章圆田术刘徽注，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，93年版。种推测，迄今尚无定论。在欧洲，553托和荷兰工程师安托尼兹分别得到的，并通称为“安托尼兹率”。但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。为了纪念祖冲之在科学上的贡献，人们建议把密率称为“祖率”，紫金山天文台已把该台3553发现的一颗小行星命名为“祖冲之星”，莫斯科大学里刻有祖冲之的雕像，在月球背面也已有了以祖冲之的名字命名的环形山。
第三节球体积公式球体积的计算是个相当复杂的问题。在《九章算术》中，球的体积公式相当于（是球的直径）。这是一个近似公式，误差很大。dd3经研究了这个问题，但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π∶4的结论是错误的，并正确指出球与“牟合方盖”（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”）的体积之比才是π∶4，把对于球体积问题的研究推进了一大步，但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后，祖冲之和他的儿子祖暅才在这个问题上取得了突破。祖暅，字景烁，曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等，也是南北朝时期著名的数学家和天文学家，著有《漏刻经》一卷，《天文录》三十卷等，均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著，说他还曾参加阮孝绪编著《七录》的工作。祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于，=3π，彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π，227因此他们的球体积公式为。3d过程中，提出了“幂势既同，则积不容异”（即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等）的原理。现在一般把这个原理称为“祖暅原理”。在西方，7世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理，即被称为“卡瓦列里公理”，这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步。第四节同余式和不定方程在三国两晋南北朝时期的数学著作中，《孙子算经》卷下的“物不知数问题”和《张丘建算经》卷下的“百鸡问题”，是世界著名的数学问题。《孙子算经》三卷，作者不详，约成书于公元400年前后，《张丘建算经》三卷，作者张丘建，清河（今河北清河）人，生平不详，约成书于公元4至485年之间。这两部著作都被收入唐代《十部算经》，立于学官，并流传至今。“物不知数问题”亦称“孙子问题”，大意是有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数余二，问该物总数共有多少？（mod3）=3（mod5）=2（mod7），答案是＝70×2+2×3+=23。后来，孙子问题成为广泛流传的一种数学游戏，被称为“韩信点兵”等，并且还编有一首“孙子歌”“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”，这首歌诀暗示出问题的解法。但这不是同余式的一般解法。“孙子问题”与古代历法中推算上元积年有关，南宋数学家秦九韶创造“大衍求一术”，完满地解决了这一问题。他所得到的一次同余组解法公式，现被称为“孙子剩余定理”。
“百鸡问题”的大意是公鸡只，值钱5文；母鸡只值钱3文；小鸡3只，值钱文。今有00文钱买鸡00只，问可买公鸡、母鸡和小鸡各多少只？此题有三个未知数，仅能列出两个方程，属于不定方程问题。《张丘建算经》给出三组答案，并有一段说明文字。但是由于其中没有具体解法，因而引起种种猜测。对于中国古代如何解不定方程，至今众说纷坛，尚无定论，不定方程问题最早见于《九章算术》方程章的“五家共井”题，但术文简略，暗含限制条件，没有一般解法。北周甄鸾《数术记遗》也收录了百鸡问题，但数据与《张丘建算经》有所不同。该题应有两组答案，但他仅给出一组，并说明这类问题“不用算筹，宜以心计”，即采用试算的办法去解决。南宋杨辉《续古摘奇算法》引述了《辩古根源》（已失传）中的“百桔问题”，该题应有四组答案，书中仅列出一种，是不完全的。直到9世纪，清代数学家才把这种类型的问题和求一术（一次同余组问题）联系起来，获得了比较完善的解法。晚于《九章算术》时代的公元3世纪古希腊数学家丢番图，对不定方程问题进行了深入的研究，取得了非常出色的成果。5世纪中亚数学家阿尔·卡西的“百禽问题”，与“张丘建算经”的“百鸡问题”非常类似，很有可能受到中国数学的影响。
第五节解线性方程组和解二次、三次方程《九章算术》方程章方程术，是关于线性方程组解法的重要成就。这种方法是用直除法消元，直到每行只剩下一个未知数，即可求得方程的解。但是这种方法比较繁琐，刘徽认为“举率以相减，不害余数之课”，于是创立新术，采取相应各行系数互乘后再消元的方法。刘徽的互乘相消法已和现在所用的线性方程组解法基本上一致。
在中国古代，把开各次方和解二次以上的方程，统称为“开方”。《九章算术》中已经给出了完整的开平方法和开立方法，而正系数二次和三次方程的解法，就是在开平方和开立方法的基础上自然引伸出来的。魏晋南北朝时期，解二次和三次方程又有了新的进展。如赵爽在《勾股圆方图注》中推导出（其中＞，＞）的求根公式隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率后，又说“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”2，据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般二次方程和三次方程，也就是容许方程中有负数项。在当时，解决这类问题是比较困难的，所以说“指要精密，算氏之最者也”。
《九章算术》方程章，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，93年版。2据钱宝琮主编《中国数学史》第89—90页，科学出版社94年版。
第六节实用算术和其他成就在三国两晋南北朝时期的数学著作中，还讲述了一些切合当时民生日用并且解题方法浅近易晓的实用算术知识。如《孙子算经》系统记载了算筹记数制度，筹算乘除法则和度量衡的单位名称及进制。甄鸾字叔遵，无极（今河北无极）人，曾任北周司隶大夫，汉中郡守。信佛教，尝撰《笑道论》。通天文历法，撰《天和历》，于天和元年（5）颁行。所撰数学著作《五曹算经》，分田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹五卷，是为地方行政官员编写的应用算术书；《五经算术》则是对儒家经籍及其古注中有关数字计算的解释；《数学记遗》题汉徐岳撰，可能是甄鸾伪托之作，其中记载了十进、万进和数穷则变的大数进位法。《数术记遗》还列举了积算、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，共4种记数方法和相应的记数工具，多不实用，但也反映了人们改革计算工具的尝试，其中的珠算虽和后世的珠算不同，但也可能对珠算术的产生起过某种启发作用。
这一时期除上述成就外，诸如刘徽的求弓形面积方法，阳马术的证明，开方不尽求微数的十进小数思想，以及张丘建的等差级数求和、求公差及项数公式，最小公倍数的概念和应用等等，都是很有创见的贡献。
第七节刘徽的极限思想刘徽为证明《九章算术》中的各种公式，提出了“析理以辞，解体用图”的要求，并创立了对许多问题行之有效的图验法和棋验法。但是有些问题并非仅仅用棋用图就可以解决的，而是需要具备相当清楚的极限思想。
在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如名家就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但先秦诸子的这类思想大多带有思辨性质，而刘徽则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，这是极为重要的。刘徽创立割圆术，用圆内接正多边形面积逼近圆面积，用圆内接正多边形周长逼近圆周长，解决了推求圆周率精确值问题，是他应用极限思想的成功事例。他对阳马术（四棱锥体积公式）的证明也是很精彩的。这个问题虽然相当困难，但刘徽运用极限方法完满地证明了阳马（四棱锥）与鳖臑（三棱锥，亦即四面体）的体积之比为2∶，从而由堑堵（楔形）体积公式推导出阳马体积的正确公式。他处理弧田术（弓形面积公式）的作法，开方不尽时求微数的思想，以及对两立体截面积与体积关系的认识，无不与极限和无穷小分割的思想紧密地联系在一起。这些思想具有深刻的数学内涵，并且是解析几何、微积分等现代数学方法的基础。刘徽在那样早的时代就产生了这些思想并用于解决实际问题，确实是非常不简单的和难能可贵的。
第二十四章天文学三国两晋南北朝是天文学非常活跃的时期，不仅产生了一系列极为重要的新发现，而且在恒星观测、历法计算和天文仪器制造等方面也取得了不少新的成就，从而为中国天文学的进一步发展打下了良好的基础。
第一节星官体系与全天星图研究日月五星运动规律需要建立参考体系，制作浑象需要将星象缀刻在仪器上，因此天体运动的研究和天文仪器的研制，要求加强恒星观测工作并提供一种含星较多的星官体系。先秦典籍和甲骨卜辞中已记载有不少星官名称。湖北随县曾侯乙墓中出土的二十八宿漆箱盖图案，说明在公元前433年以前已经形成了北斗二十八宿这一星官体系。汉武帝时，司马迁在《史记·天官书》中，综合以前各星占学派使用的星官，建立起一个有五宫二十八宿共计558颗星的星官体系，这是中国古代第一个完整的星官体系。这一体系中的星官与西方天文学中的星座大同而小异。星座是指许多恒星组成的视觉图案，星官则有两个以上恒星组成的组合，也有单个的恒星，所以星官一般比星座小。在此以后，史籍中还有一些关于天文图籍和星官的零星记载，但总的说来，汉代以前对全天恒星系统的认识仅限于二十八宿及其外的某些星组。此外，社会上使用星官最多的是天文星占家。但长时间形成的不同星占学派，由于对星空的认识和占卜方法的不同，因而各自有常用的星官体系，其中最著名的是甘德、石申和巫咸三大家，于是也就有甘、石、巫咸三派星官体系。《史记·天官书》不区分三家星，在实用中不完全适合不同流派星占家的需要。在魏晋南北朝时期，根据社会需要和在前人成就基础上，对全天星名、星数进行一次总结，建立一种既能区分三家星又是统一体的新星官体系，已是必要的和条件成熟的工作。这项工作由三朝太史令陈卓完成了。陈卓大约生活在3世纪下半叶至4世纪初，年轻时任孙吴太史令，曾作《浑天论》，其观点与王蕃大致相同。晋灭吴后，他由吴都建邺（今南京）到洛阳，任晋太史令，后因年迈离职。3年西晋亡，陈卓重返江东，次年在东晋都城建康（今南京）复为太史令。据《晋书·天文志》载，“武帝时，太史令陈卓总甘、石、巫咸三家所著星图，大凡二百八十三官，一千四百六十四星，以为定纪”。陈卓把当时主要的三家星汇集在一起，并同存异，编成颗星的星表，并绘制出总括三家星官的全天星图，还写了占赞文字。陈卓的成果对后世有很大影响，他所总结的全天星官名数一直是后世制作星图、浑象的依据，在我国历史上沿用了一千多年。我们现在见到的星图和星表，如著名的敦煌星图、苏州石刻天文图、常熟石刻天文图等，其所收星官数都未超过陈卓星图，直到明末西方星图和星表知识传入后才有所突破。另据记载，刘宋元嘉年间太史令钱乐之两次铸造浑象，将全天恒星标在浑象上，他所用的就是陈卓所定星，并用朱、白、黑和黄、白、黑三种不同的颜色来区分三家星。陈卓也是一位大星占家，不仅为星图加注占赞词语，而且撰有《天官星占》0卷、《万氏星经》7卷等星占著作。陈卓的星表、星图和著作均已失传，但仍有不少材料为他人所引用，如《开元占经》中收有许多陈卓占语，在敦煌写本中还发现一首反映他的星官体系的《玄象诗》。写有《玄象诗》的敦煌卷子现存法国国家图书馆，编号分别为抄于唐武德四年（2），3589卷末有“太史令陈卓撰”，可知此诗系陈卓所写。这首诗分别按石氏、甘氏和巫咸氏三段吟诵三家星，最后一段专写紫微垣。《玄象诗》是研究魏晋时期星官体系的重要资料。唐代学者王希明《丹元子步天歌》也介绍了陈卓所总结的星官体系。第二节天文仪器的研制和革新据今所知，三国时期，蜀、魏都没有制作天文仪器的记录，而孙吴则在制作仪象方面很有成就，如王蕃依据张衡旧制制成一台小型浑象，葛衡也制造一台浑象，其特点为“使地居于中，以机动之，天转而地止，以上应晷度”。天文学家陆绩还制造了一台卵形浑象。