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③何光远：《鉴诫录》卷一《金统事》。
①《旧唐书》卷十九下《僖宗纪》。
②《资治通鉴》卷二五四，僖宗中和元年。
①《资治通鉴》卷二五四，僖宗中和二年。
第五节败死狼虎谷中和二年（882）九月，朱温变节降唐。李详也欲投降，被黄巢所杀。黄巢任命黄思邺为华州刺史，但到了十一月，即被李详旧卒逐出。中和三年（883）正月，沙陀李克用率兵五万进至沙苑，击败了黄揆。二月，黄巢见义军节节败退，粮食也将吃光，便“阴为遁计，发兵三万搤蓝田道”②，为撤离长安做好准备。
同年四月，唐诸镇兵从四面八方会集京师。李克用与河中、忠武镇将率先出战。黄巢率大军于渭桥迎战，一日三战，连战失利，其他诸道兵也乘机发起攻击，义军大败。四月十四日，李克用军攻入长安，黄巢力战不胜，遂连夜撤离长安。这时义军尚有十五万。黄巢扬言奔徐州，实际上却经蓝田关进入了商山（今陕西商县东）。在撤退中，义军把辎重珍货遗弃于道路，官军在长安大肆抢掠之后，又在路上争先拾取财物，不再追击，故黄巢“得整军而去”。
五月，黄巢骁将孟楷率万人奔袭蔡州（治今河南汝南），唐节度使秦宗权迎战败北，遂归顺了义军。接着孟楷又进攻陈州（治今河南淮阳），陈州刺史赵犨早有防备，乘机袭杀了孟楷。六月，黄巢与秦宗权合兵围攻陈州，“掘堑五重，百道攻之”。黄巢还在州城北“立宫室百司，为持久之计”①。在黄巢围攻陈州时，唐廷不断调动军队，以围剿农民军。七月，朱全忠（温）被任命为宣武节度使，加东面招讨使。九月，命感化军节度使时溥为东面兵马都统。十二月，陈州被围困日久，即向邻道求救。于是忠武镇周岌与时溥、朱全忠等皆率兵前来救援。
中和四年（884）正月，黄巢军仍是势力强大，周岌等诸路救兵被义军打得落花流水，招架不住，不得不共同向河东节度使李克用求救。二月，李克用率蕃、汉兵五万前来增援。黄巢围攻陈州数百天，却始终未能攻克。这时李克用会同许、汴、徐、兖等州军马向陈州进发，先击败了驻守陈州北的太康尚让军，又击败了陈州西的西华黄思邺军，于是黄巢从陈州周围撤军，退至陈州北的故阳里。五月，连日大雨，平地水深三尺，黄巢军营为水所漂，又听说李克用大军将至，遂奔向汴州。当黄巢军从中牟（今河南中牟）北汴河王满渡口渡河时，李克用乘势袭击，义军大败，死伤万余人，尚让率其部下投降了时溥，别将李谠等人投降了朱全忠。义军损失惨重，黄巢率残兵败将向东北逃去，李克用又追杀到封丘（今河南封丘）。这时又遇大雨，黄巢只收集散兵近千人，冒雨东奔兖州。
六月十五日，武宁将李师悦与尚让追至瑕丘（今山东兖州），黄巢与唐军“殊死战，其众殆尽”，与其外甥林言走至泰山狼虎谷的襄王村（今山东莱芜西南）。这时，林言见大势已去，“惧追至并命”，于是便乘机杀了黄巢及其兄弟妻子。①林言持黄巢等人首级欲向时溥献功，在路上却遇到沙陀博野军，他们杀了林言，将林言及黄巢等人首级一并献于时溥。
黄巢从揭竿而起至失败身亡，历时十年之久。他的活动北起山东，南至广东，西至陕西，转战南北，纵横全国十二省，推动了各地的农民斗争，沉②《资治通鉴》卷二五五，僖宗中和三年。
①《资治通鉴》卷二五五，僖宗中和三年。
①《旧唐书》卷十九下《僖宗纪》；《资治通鉴》卷二五六，僖宗中和四年。重地打击了唐朝的腐朽统治。黄巢打着“天补平均大将军”的旗帜，表明了农民朴素的平均主义思想，这对后世的农民战争具有深远的影响。
第四十七章数学隋唐时期，由于农业、手工业和商业的发展，以及编制历法、开凿大运河和大规模城市建设等实际需要，数学在前代成就的基础上继续向前发展。这一时期，见于记载的数学著作已明显增多，如《隋书·经籍志》著录有27种，宋初编纂的《新唐书·艺文志》著录有35种。数学教育制度的确立、李淳风等对于十部算经的整理和注释、王孝通《缉古算经》关于三次方程的工作、二次内插法的创立、实用算术的发展和计算技术的革新，以及数学知识的普及、中外数学交流的扩大等等，在中国古代数学史上都具有重要意义。第一节数学教育据历史记载，早在西周时期“数”作为“六艺”之一，成为贵族子弟必修的一门课程，在一定程度上受到统治阶级的重视。当时还有世代相传掌管天文历法和通晓数学的所谓“畴人”。但是数学知识的延续和发展，主要依靠私授家传。如著名数学家祖冲之就称得上是数学世家。隋唐时期，在数学教育方面的一项重要举措是在国子监内设立算学馆，并相应地在科学考试中设有明算科。如隋朝国子寺设立“算学”，置有博士二人，助教二人，招收学生八十人，进行数学教育。唐沿隋制，国子监亦设置“算学”，但其设于何时则有两种说法。一说为贞观二年（628），“是岁大收天下儒士其书算各置博士学生，以备众艺”①。《唐会要》也有类似记载，并且提到唐太宗多次亲临国子监视察，“国学之盛，近古未有”。另一说则称，“唐废算学，显庆元年复置”②。从唐初百废待兴到社会稳定、经济繁荣和文化发达的总体情况来看，大致应是，贞观初设“算学”，后曾一度撤销，而在显庆元年（656）又在国子监内重新添设算学馆。
唐代算学馆由算学博士“掌教文武八品以下及庶人之子为生者”③，共招收学生三十人，分为两组，学制均为七年。学习内容主要是十部算经，其中一组十五人学习《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《周髀算经》和《五经算术》，另一组十五人学习《缀术》和《缉古算经》。按当时规定，《孙子》和《五曹》共限习一年，《九章》和《海岛》共三年，《张丘建》和《夏侯阳》各一年，《周髀》和《五经算》共一年，《缀术》四年，《缉古》三年，此外还要兼习《数术记遗》和《三等数》。
与此相应科举取士还设置了明算科，考试内容主要从十部算经中选题，考试合格者可分配从九品以下的官职。然而，终唐之世数百年间，封建统治者对于数学教育兴废无常，算学馆有时设置有时停办，隶属关系也常有改变，有时属于国子监，有时又属于秘书局或太史局，如显庆元年（656）设算学馆，仅过两年多，于显庆三年（658），因算学等“事唯小道，各擅专门，有乖故实，并令省废”①，取消了算学馆，并把算学博士以下人员转属太史局。龙朔二年（662）又重设算学馆，而学生人数减为十人，翌年再使“算学隶秘书局”②。此后，“算学”仍时有兴废，大约在晚唐时，明算科考试也被取消了。这种情况当然对数学发展是不利的。隋唐以后在国子监创设算学馆，进行专业数学教育，科举考试中设立明算科选拔数学人才，这毕竟是我国历史上的创举。但由于封建思想的束缚，重经史轻理工的风气长期盛行，因而数学教育并没有受到应有的重视。例如，在唐代国子监中，有国子、太学、四门、律学、书学、算学六个学馆，其中国子学有学生三百人，太学、四门各有学生五百人，而算学仅有学生三十人，后来又减为十人，并且只招收社会地位不高的人家的子弟。明算科科举及第以及学数学的人又只能得到很低的官职，如国子博士是正五品上，而算学博士却是品位最低的从九品下，算学博①《贞观政要》卷七。
②《新唐书》卷四六《百官志》。
③《旧唐书》卷四四《职官志》。
①②《唐会要》卷六六。
士与助教也只能拿到最低的月俸，因此“士族所趋唯明经、进士二科而已”③，“明经”和“进士”仍然是多数知识分子追求的目标。
③《通典》卷十三《选举》。
第二节算经十书唐代国子监算学馆采用的教材，是由国家统一编订的。据《旧唐书·李淳风传》载：初唐时，“太史监候王思辩表称《五曹》、《孙子》理多踳驳，淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注《五曹》、《孙子》十部算经。书成，高宗令国学行用”①。《唐会要》广文馆条则称，显庆元年（656）十二月十九日尚书左仆射于志宁等奏置，“令习李淳风等注释《五曹》、《孙子》等十部算经，分为二十卷行用”②。李淳风曾任朝议大夫、将士郎、承务郎、轻车都尉、太史丞、太史令、秘阁郎中等官职，著有《晋书》和《隋书》中的《天文志》、《律历志》、《五行志》，以及《典章文物志》，《乙巳占》，《秘阁录》，《法象志》等。
据新旧《唐书》和《宋史》等史籍记载，李淳风等编订和注释的十部算经，有《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，后世称为“算经十书”。后来北宋元丰七年（1084）秘书省刻印算书时，《缀术》已经失传，因而只刻印了九部，并且据考证，其中《夏侯阳算经》并非原著，而是唐代中期的《韩延算术》。由于此书卷上第一章引用了夏侯阳的一句话而被误认为《夏侯阳算经》。南宋嘉定六年（1213），鲍澣之在福建汀州学校主持翻刻北宋本九部算经时，又补入从杭州七宝山宁寿观所藏道书中发现的徐岳《数术记遗》一卷，并且辗转流传到现在。1963年中华书局出版钱宝琮校点本《算经十书》。
现在有传本的《算经十书》每卷的第一页上都题有“唐朝议大夫、行太史令、上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释”字样，实际上只有《周髀》、《九章》、《海岛》、《张丘建》和《五经算术》五种还保留有李淳风等的注释，并且已非全貌，其他几种都已失传了。在李淳风等关于算经十书的校订和注释工作中，就天算内容而言，其《周髀算经注》水平较高，特别是修正了经文和赵爽、甄鸾注中的一些缺陷，作出了较大贡献。例如，根据实际观测，指出《周髀》等古代天算家认为南北相距千里、日影长度相差一寸的传统说法不符合实际情况，据此推算得出的天文数据自然也是错误的；提出用两根标竿（古人称为“表”）测量时，应根据地势高低不同对日高公式作适当的修正并提出了相应的计算方法；指出赵爽所修改的二十四节气八尺高表的日影长度，用等差级数计算也与实际不合；逐条校正了甄鸾对赵爽《勾股圆方图注》的种种误解，这对于后世读者有很大帮助。
李淳风等对其他算经的注释有不少值得称道之处，如在《九章算术》“少广章开立圆术”中，引用了祖暅关于球体积计算的研究成果，保存了珍贵的史料。《缀术》失传之后，幸有李淳风等的记述，才使后人能够了解到祖氏父子的球体积公式和祖暅公理等中国数学史上的重要成就。对《海岛算经》的注解，则详细指明了解题中的演算步骤，在一定程度上为当时及后人的学习和研究提供了方便。李淳风等人的注释工作也存在不少缺点，例如，赞扬祖冲之圆周率“更开密法”，而没有充分认识到刘徽割圆术的重要意义，认①《旧唐书》卷七九《李淳风传》。
②《唐会要》卷六五。
为“徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也”①；在《九章算术》有关圆面积的问题答案下，添加“按密率”计算所得答案，结果使后来不少人误认为“约率”22/7是祖冲之的“密率”；总的来说，李淳风等人对算经十书进行系统的整理和注释，这些算书又被采用为数学教材，从而使这些反映唐代以前中国古代数学发展情形的最重要的原始文献得以流传至今。
①《九章算术》方田章圆田术李淳风等注。
第三节《缉古算经》与三次方程唐代立于学官的十部算经中，王孝通《缉古算经》是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通主要活动于六世纪末和七世纪初。他出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，隋朝时以历算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做过算学博士（亦称算历博士），后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。唐武德六年（6），因行用的傅仁均《戊寅元历》推算日月食与实际天象不合，与吏部郎中祖孝孙受命研究傅仁均历存在的问题，武德九年（626）又与大理卿崔善为奉诏校勘傅仁均历，驳正术错三十余处，并付太史施行。王孝通所著《缉古算术》，被用作国子监算学馆数学教材，奉为数学经典，故后人称为《缉古算经》。全书一卷（新、旧《唐书》称四卷，但由于一卷的题数与王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十题。第一题为推求月球赤纬度数，属于天文历法方面的计算问题，第二题至十四题是修造观象台、修筑堤坝、开挖沟渠，以及建造仓廪和地窖等土木工程和水利工程的施工计算问题，第十五至二十题是勾股问题。这些问题反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要。
王孝通在《上缉古算经表》中说：“伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭邪之法，凡二十术，名曰《缉古》。”①这段话清楚地说明了他写作本书的目的和研究成果。《缉古算经》涉及到立体体积计算、勾股计算、建立和求解三次方程＝A（a、b和A，非负），建立和求解双二次方程x4＋ax2＝A（a、A，为正，这是一种特殊形式的四次方程）等数学内容。这类问题与解法大多相当复杂，就当时数学水平而言是相当困难的，因此，在国子监算学馆要学习三年，学习年限仅次于祖氏父子的《缀术》。例如该书第三题，假如从甲、乙、丙、丁四县征派民工修筑河堤，这段河堤的横截面是等腰梯形，已知两端上下底之差，两端高度差，一端上底与高度差，一端高度与堤长之差，且已知各县出工人数，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距离、负重运输效率和筑堤土方量，以及完工时间等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤体积）和这段河堤的长度、两端高度、两端上下底宽度，以及各县完成的堤段长度等。前两个问题是比较简单的算术问题，后两个问题则要经过较复杂的推导和几何变换归结为建立和求解形如＝A的三次方程。在《缉古算经》第十五题至二十题等属于勾股算术的问题中，王孝通还创造性地把勾股问题引向三次方程，并与代数方法结合起来，扩大了勾股算术的范围，发展了勾股问题的解题方法。在中国数学史上，《缉古算经》是我国现存最早介绍开带从立方法的算书，它集中体现了中国数学家早在公元七世纪在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，虽然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圆锥曲线的图解法，一直到十三世纪意大利数学家菲波那契才有了三次方程的数值解法，这比王孝通晚了六百多年。王孝通对自己的研究成果十分得意。他在《上缉古算经表》中批①王孝通：《上缉古算经表》，钱宝琮校点《算经十书》，中华书局1963年版。评时人称之精妙的《缀术》，“曾不觉方邑进行之术全错不通，刍甍方亭之问于理未尽”，由于《缀术》已经失传，王孝通的说法是否正确，已无从查考，但想来恐有失偏颇。他还宣称，“请访能算之人考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金”，这又未免有些过于自信。以后，宋元数学家创立了天元术、四元术和高次方程数值解法等，取得了更加辉煌的成就。
第四节二次插值法二次插值法（又称二次内插法）的创立，是隋唐数学的又一项重大成就。插值法是根据两个自变量的已知函数值求这两个自变量之间各自变量对应函数值的近似计算方法。这种方法是很有实用价值的。例如，在天文观测中，人们不可能每时每刻都进行观测，因此只能得到日月五星某些时刻在天球上的位置。利用这些观测记录推算日月五星在其他时刻的位置，就要用到插值法，这对于天文计算特别是日月交食的推算是十分重要的。实际上在《周髀》和《九章》中就已有了一次插值（或称线性插值）公式。东汉末天文学家刘洪制订《乾象历》，为计算月球在近地点后n＋s日的共行度数，采用了一次插值公式：f（n＋s）＝f（n）＋s△，其中n为月球在近地点后运行的整日数，f（n）为对应的月球位置函数，0＜s＜1，△＝f（n＋1）－f（n）。此后，曹魏杨伟、姚秦姜岌、刘宋何承天、南齐祖冲之等各家历法计算月行度数时也都采用了这种算法。随着天文学的发展和观测精度的提高，天文学家不仅发现了月球视运动的不均匀性，而且也发现了太阳和五星视运动的不均匀性，也就是说，日月五星的视运动并非是时间的一次函数。为了编制更好的历法，特别是为了精确计算合朔和交食时刻，何承天、祖冲之以前所长期采用的一次插值法，误差太大，已经不能满足这种要求，于是中国天算家开始了新的探索。
隋开皇二十年（600），天文学家刘焯在他所编制的《皇极历》中，在推算日月五星视运动度数时，首先创用了等间距二次插值公式：(((((,+=++++——******2212△△△△△△其中l为相等的时间间隔，求太阳视行度数时，l是一个节气的平均日数，求月行度数时，l为一日，0＜s＜l，f（t）是时间t的函数，表示日月五星的运行度数。当l＝1时，上式可化为：(((,+=++-△△22其中△＝△1，△2＝△2为各时间点上相应的一级差分和二级差分。这个公式实际上就是后来著名的牛顿插值公式的前三项。这种方法比以前所用的一次插值法精密，利用这个公式计算所得到的历法精确度也有所提高。可惜的是刘焯《皇极历》这部较先进的历法当时并未颁行，直到唐代李淳风才将其计算方法引入《麟德历》中。
由于各个节气之间的时间长短实际上并不相等，即历法中的各个节气是不等间距的，日月五星的视运动也不是匀变速运动，因此用刘焯公式计算的结果仍然存在较大的误差。为了解决这一问题，进一步提高历法的精确度，唐代著名天文学家一行又在此基础上大胆创新，在《大衍历》（727）中创立了不等间距二次插值公式：(((+=++++——+.è÷△△△△△△************122其中f（t）为已知值，l1，l2表示不同的时间间隔。此外，有些学者认为一行还提出了等间距三次差插值法的近似公式①，而有些学者则认为就插值算法本身而言，一行算法与刘焯算法实质完全相同，其分别仅在于以平气或定气为时间间隔的不同②。这些看法究竟是否合适，尚有待于更深入的研究。刘焯和一行的二次插值法影响很大，并且继续有所发展，如晚唐天文学家徐昂编制《宣明历》，在推算太阳和月亮行度时提出了更为简便的插值公式，在一定程度上简化了一行和刘焯的结果。后来宋元数学家又相继创立三次插值法和高次插值法（招差术），在公式内容与形式上已与牛顿插值公式完全一致，更加圆满地解决了与之相关的数学和天文计算问题。
①严敦杰：《中国古代数理天文学的特点》，《科技史文集》（第1辑），上海科学技术出版社1978年版。②王荣彬：《中国古代历法中的插值法构建原理》，见曲安京、纪志刚、王荣彬：《中国古代数理天文学探析》，西北大学出版社1994年版。
第五节实用算术的发展与敦煌算书唐代中期以后，普遍推行“两税法”的赋税制度，经济情况得到一定程度的复兴，农业、手工业和商业有了较大的发展。与此相应，人们在日常生活中需要进行计算的机会大量增加，从而产生改进和简化筹算算法的迫切要求，促进了实用算术的发展，并且取得了显著的成就。例如，以《夏侯阳算经》名义流传至今的《韩延算术》，是一部可供地方官吏和平民百姓学习数学知识和计算技术的实用算术书。全书共三卷八十三题，书中收集和征引各家算法及当时法令，保存了宝贵的数学史料。其中记载有将筹算多位数乘除转变为单位数乘除的算法，把要摆放上中下三层的筹算简化为在一个横列里演算。如乘数为35，就可以先乘5，然后乘7。除数为12，可以先折半，然后再除以6。当乘数首位是1时，又可以“以加代乘”。如乘数是14，可用“身外添四”法，即被乘数不动（这相当于该数乘以10），然后再退一位加上该数的4倍；乘数是102，可用“隔位加二”法，除数是12，可用“身外减二”法，等等，都在被乘数或被除数筹式本身上进行演算。对于更多位数的乘除，可用类似的方法去处理。如果乘数或除数的首位数不是1，还能采用各种方法将它化为1，然后再来计算。这种算法叫做“求一”或“得一”算法，当时曾受到不少数学家的关注。据史籍记载，晚唐天文学家边冈“用算巧，能驰骋反复于乘除间。由是简捷、超径、等接之术兴，而经制、远大、衰序之法废矣”①。这也从一个侧面反映了唐代学者在简化数字计算方面的成果及其影响。中唐以后乃至宋元时期，改革和简化筹算算法的工作一直在继续着，并且不断有所进展，其中许多成果还被后来的珠算术所吸收，直到珠算完全代替筹算，这一工作方告结束。涉及筹算改革的专门书籍，除《韩延算术》外，还有陈从运《得一算经》七卷，“其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数”①，江本《一位算法》2卷，龙受益《算法》2卷、《求一算术化零歌》1卷、《新易一法算范要诀》1卷等，但可惜的是这些著作都已失传了。
据史籍记载，庸宋之际数学著作为数不少，而传留至今者则不多。十九世纪末在敦煌莫高窟藏经洞发现了大批历史文献。在这批文献中包含有四种写本算经②：《算经（并序）》1卷、《算书》和《算表》，这三种现藏法国国立巴黎图书馆；另两部《算经（并序）》1卷，其内容与巴黎藏本完全相同，实际上是同一本书，此外还有《立成算经》一卷，这三部书现藏英国伦敦大不列颠博物馆。以上四种算书大致说来可能成书于中晚唐或五代时期，是研究这一时期数学的重要史料。《算经》序中提到“凡算者正身端坐”，“盖意明情乐者，安有不成哉”，等等，在战乱时期一般不会有如此平和的心境，书中还有“又据大唐令文”字样，关于大数记法和度量衡制度与《孙子算经》相同，另外此书有三个抄本，可见在当时是比较流行的，因此《算经（并序）》有可能是唐中期的作品。《算表》标明是五代时后周太祖广顺二年（952）写本。《算书》载有男丁给米，养马给粟，造袍用绵，城楼用兵，石车钩弩，领军出征等问题，显然适应于军事计算的需要，因此这部书可能①《新唐书》卷二八《历志》。
①《新唐书》卷五九《艺文志》，《宋史·律历志》。
②详见李俨：《中国古代数学史料》，上海科学技术出版社1963年版。以下敦煌算书引文，均转引自此书。写于战乱频仍的五代时期。《立成算经》关于大数记法和度量衡制度趋于简约，与《孙子算经》和《算经（并序）》有所不同，所列算法表也很简明扼要，便于查索，因此可能也是五代时的作品。敦煌藏经洞发现的这四种算书所包含的数学内容主要有算筹记数法、大数记法、度量衡制，以及乘法口诀、四则运算、面积、体积计算和算表等，其中所载算题及乘法、乘方、累加和田亩等计算用表，有些很有实用价值，为唐以前算书所未见。这些来自民间的算书，反映了唐宋之际民间数学教育和数学知识应用的真实情况。
第六节中外数学交流南北朝和隋唐时期，随着佛教的流传，印度的一些天文学和数学著作也传入中国，并且有了中文译本。《隋书·经籍志》著录有《婆罗门算法》3卷，《婆罗门阴阳算历》1卷，《婆罗门算经》3卷，但这些书早就失传了，现已无法查考其具体内容。唐代还有一些印度天文学家在当时的司天监工作，主要有瞿昙、迦叶和俱摩罗三家，尤以瞿昙家族的成就最为突出。如著名天文学家瞿昙悉达，曾担任过太史监等官职，编撰有《开元占经》120卷。在这部书所收的《九执历》中，他所介绍的印度数学知识有印度数码，如用9个数码符号表示9个数字，用点表示空位或零，但该书仅用方框表示而没有写出这9个数码的具体写法，以致印度数码未能在中国流传下来。印度数码亦于中世纪传入阿拉伯国家，后又传入欧洲，经过书写形式上的演变，从而形成了现在世界通用的印度—阿拉伯数码。瞿昙悉达介绍的印度数学知识还有圆弧量法、间隔为3°45′的正弦函数表等。其圆弧量法是把圆周分为360度，每度分为60分，与古希腊人的弧度量法相同，而与中国古代天文学家把周天分为度不同。但是，这些较先进的印度天文算法，与中国传统的算法体系难以协调，中国学者中具有代表性的看法是“其算皆以字书（笔算），不用筹策。其术繁碎，或幸而中，不可以为法。名数诡异，初莫之辩也”①。因而这些内容都没有被中国数学家和天文学家所采用。传入中国的印度数学，后来仅有大数记法与小数记法，对中国数学有所影响，如元代数学家朱世杰《算学启蒙》中的“极”、“恒河沙”、“无量数”、“虚”、“空”、“弹指”等大数与小数名称，都来自佛教经典。另一方面，在钱宝琮主编的《中国数学史》中，列举了十进位值制记数法、四则运算、分数、三率法、弓形面积与球体积、联立一次方程组、负数、勾股问题、圆周率、重差术、一次同余组、不定方程问题、开方法和正弦表的造法等14项数学内容，用以说明有些与中国数学极其相似的问题和算法，后来又出现在印度的数学著作中，因此印度数学的这些内容很可能受到了中国数学的影响。当然这还需要寻找更确切的证据，中印数学之间的关系是一个值得深入探讨的课题。
中国与朝鲜、日本之间的文化交流，源远流长。中国数学是朝、日两国早期数学发展的基础，其影响之大是可想而知的。在朝鲜，据《三国史记》记载，新罗早在七至八世纪，便曾在“国学”（相当于中国的国子监）内设立算学科，置“算学博士若助教一人，以《缀经》、《三开》、《九章》、《六章》教授之”①。其中所说《缀经》，当是祖冲之《缀术》，《九章》即《九章算术》，而《三开》、《六章》为何书则在我国古籍中未见记载。总的来说，其数学教育制度与所用教材，均与唐朝国子监算学馆相类似。十至十四世纪的高丽王朝也建立了类似的制度。他们还多次派人来华采购各种书籍，其中也包括数学书籍。在日本，早在公元三世纪，日本就开始吸收中国的数学知识，而从六七世纪日本的飞鸟、奈良时代起，中国的历法和数学就更多地直接或经由朝鲜间接地传入日本。日本于八世纪初设立学校，讲授数①《新唐书》卷二八《历志》四下。
①金富轼：《三国史记》卷三八《职官》上。
学，据日本养老二年（718）公布的《养老令》及其释义书《令义解》（833）记载，可知当时所用教材有《孙子》、《五曹》、《九章》、《海岛》、《六章》、《缀术》、《三开》、《重差》、《周髀》、《九司》等十部算书。其教职人员的设置、学生人数、学习内容和考试方法等也与唐朝国子监算学馆的制度相类似。宽平年间（）藤原佐世奉敕编撰《日本国见在书目》，记录了当时在日本可以见到的各种书籍。在其中的“历数家”一门中，除记载了《周髀》、《九章》等秦汉以来的算书外，还记录了《六章》、《三开》等见于朝鲜书目的算书，此外也还有一些中国和朝鲜厉代书目都未载而仅见于日本的算书，如《九章私记》、《六章私记》、《新集算例》、《元嘉算术》、《要用算例》、《五行算术》等。这些著作中有些是中国人的作品，有些则可能是日本数学家在中国数学影响下而自行创作的作品。日本在相当长的时期内直接行用中国历法，如《元嘉历》、《麟德历》、《大衍历》和《宣明历》等，这些历法中所包含的数学方法加二次插值法等自然也相应地传入了日本。
第四十八章天文学隋唐时期出现的大一统，有利于中国天文学继续发展。人才与资料集中于朝廷，国家财力雄厚，天文学家们能够利用三国两晋南北朝时期的天文新发现，推动历法的进步。他们还利用占有的大量资料，系统编纂出古代天文资料精粹汇编，写出许多新的天文学著作。另一方面手工业技术的进步，有助于天文学家在总结前人经验的基础上，研制出功能空前完善的新的大型天文仪器，推动了天文观测的发展。柳宗元的《天对》和刘禹锡的《天论》则在宇宙本原、宇宙生成和宇宙演化等方面，继承和发展了中国古代朴素唯物主义的宇宙论和自然观。隋唐时期天文学的发展进一步强化了东方天文学体系，展现了中国古代天文学走向成熟的风貌。
第一节隋代的历法杨坚在夺取北周政权的时候，“欲以符命曜于天下”，在为他积极制造改朝换代舆论、宣扬符命征象的人士中，有一位略知历法的道士张宾。隋皇朝建立以后，最初沿用北周的《大象历》。为满足新朝改历的政治需要，张宾献上了对何承天《元嘉历》略加修改而成的《开皇历》，于开皇四年（584）颁行天下。但是曾担任过北齐历官的刘孝孙，以及名重一时的经学家和天文学家刘焯等都不赞成使用《开皇历》。他们清楚地看出《开皇历》的缺陷，如该历糟粕较多、术意不清、推算不准，特别是并未吸取《元嘉历》的优点，制历者不懂岁差，也不知道定朔，而这些问题早已分别为南朝的祖冲之和何承天所解决，因此，其历术明显地落后于当时天文历法的发展水平。张宾倚仗皇帝的宠信，不但不接受批评，反而攻击二刘“非毁天历，率意迂怪”，“妄相扶证，惑乱时人”，并将他们逐出京城。张宾死后，刘孝孙带着自己编的一部历法再次上京谋求改历，可是又受到与张宾一党的太史令刘晖的压制，后刘孝孙虽然进入司天监，却“累年不调，寓宿观台”，无法出头。后来孝孙抱书扶棺冒死上奏，于是引起隋文帝的注意，并命人经过实测比较后再决定是否改历。开皇十四年（594），经实测证明，刘孝孙的历法和参与实测的另一部张胄玄的历法，都比《开皇历》优越，孝孙提出先斩阻碍改历的刘晖，再议改历，但杨坚不肯，也不采用他的历法。不久后，刘孝孙去世。开皇十七年颁用了张胄玄的新历。
曾经看过孝孙历术的刘焯，对张胄玄的历法提出许多批评，指出其术文不少是抄袭刘孝孙的，历法也比较粗疏。他于开皇二十年（600）编成一部新的历法《皇极历》，希望能得到颁用。但张胄玄与太史令袁充编造了所谓“日长之瑞”的假天象，深得皇帝宠信，刘焯得不到支持，于大业四年（608）抱憾而终。大业六年，张胄玄修改了自己历法中的许多数据，颁布于世，为《大业历》。大业历的回归年长日，朔望月长日，采******************1144用破章法，在410年中设置151个闰月，定岁差为83年冬至点西行一度，考虑了太阳视运动的不均匀性和月球视差对交食的影响，其行星会合周期的数值也十分精确，例如所定金星的数值是日，与今采用值相同，并将原定冬至点起虚五度改为起虚七度，使《大业历》成为隋代一部比较好的历法。事实上，没有得到颁行的刘焯的《皇极历》，是隋代出现的最好的一部历法。刘焯（）字士元，信都昌亭（今河北冀县）人，是隋初著名学者和杰出的天文学家，著有论述历家同异的《稽极》10卷，《历书》10卷和《五经述议》等。他所创制的《皇极历》将张子信发现的太阳视运动的不均匀性引入历法，并提出不等间距二次差内插法的数学方法，解决了采用定气法的计算问题。《皇极历》计算定朔的方法也是我国古代最早同时考虑日、月视运动不均匀性的定朔法。《皇极历》采用的天文数据也相当精确，如定回归年长度为日，朔望月长度29.******日，采用破章法，在676年中设置249个闰月。又如定岁差率约76.5年相差一度，与今采用值接近。行星会合周期也很准确，如水星采用值日与今值相同。由于皇极历成就突出，《隋书》打破只收颁行过的历法的框框，破例将该历收入《隋书》的《律历志》中。
第二节中国星官体系的完善三国两晋时期，陈卓建立起一个有283个星官、1464颗星的星官体系，是一个既能区分甘、石、巫三家星，又按二十八宿划分的中国星座体系。此后南朝的宋、梁、陈等，都曾制造过按陈卓星官体系标示的浑天象；北朝孙僧化、庾季才等也有星象著述。隋文帝平陈以后将南朝的浑仪、浑天象及天文图籍都集中于长安，北周的庾季才、陈国的周坟等天文学家也入隋为官，他们又奉杨坚之命，参照各家星官，绘成星图。周坟与袁充等人还在太史局教授太史观生，学习星象知识。隋末唐初，又有李播写成《天文大象赋》，用诗赋描述全天星官。当时星官体系主要存在两个问题：一是过分强调三家星的区分，使星空划分成为二元体系，而到了唐代已不像前代那样重视三家星的划分；另一个问题是在拱极区与黄道星空之间，还有两个区域比较空白，命名的星不够多，显得整个星空分布不够均匀。
开元年间王希明解决了上述两个问题，他的著名作品《丹元子步天歌》既是认星歌诀，也是一个星空划分的新体系。《步天歌》一改既分三家星又分二十八宿的二元划分法，只按二十八宿划分星空，有时还用黑色表示甘氏星，黄色表示巫咸氏星，不加颜色说明的就是石氏星，从而醒目明了，但减弱了对三家星的强调。他又明确划分三垣：即紫微垣，太微垣和天市垣，并充实了围在三垣内的恒星的命名，使《步天歌》成为开创三垣二十八宿新体系的代表作。三垣二十八宿分区法将全部星空划分成三十一个天区，是一种星官分布比较均匀、可分区认星的完整的星官体系。这一体系一直沿用到近代。《步天歌》七言有韵，介绍星官名称、星数和位置等，简明通俗，便于记忆，是后来天文学家初学天文时的必读之书，古人称誉它“句中有图，言下见象，或约或丰，无余无失”。例如关于柳宿的歌诀为：“八星曲头垂似柳，近上三星号为酒，享宴大酺五星守。”将柳宿的星数、外形、周围星官的名称及星数都说得非常清楚。
星官体系的完善带来了星象知识的进一步普及。流传至今的唐代二十八宿铜镜，是星象知识在用具装饰中的应用，并赋予其一种神秘的色彩。敦煌藏经洞中发现的唐代星图抄本，是当时人们重视星象知识的证明。敦煌星图，一说绘于八世纪初，一说绘于十世纪中。图上有1350多颗星，这是世界上现存最早且星数最多的一份星图，现藏于英国伦敦大不列颠博物馆①。除这些绘制有所依据的星图外，唐代还有许多表意性星图，如贞观四年（630）的李寿墓以及懿德太子、永泰公主、章怀太子等墓，都有墓室天象图，图中绘有日月、银河及星象。甚至在远距长安的新疆吐鲁番，也有唐墓星图，但与长安的那几幅星图比较，少了表意性，多了装饰性，并且二十八宿图案经过艺术化处理。五代时期留存的吴越国墓室星图，更优越于上述星图，其二十八宿连同辅官附座有180多颗星，且星象相对位置比较符合实际天象。
①席泽宗：《敦煌星图》，《文物》1966年第三期。
第三节天文仪器的复杂化和功能综合化隋唐时期天文仪器有许多新的创造。如隋文帝时耿询根据张衡制作过水运浑象的记载，重新制成一台不用人力的水运浑象，他还发明了马上刻漏，以作在行进中计时之用，世称其妙。他与宇文恺合作仿照北魏道士李兰的作品制作了称水漏器，这种称漏后来在唐代曾风行一时。
贞观年间天文学家李淳风制造出一台浑天黄道仪，这是一台很复杂的浑仪。这台仪器有三重环组，即六合仪、三辰仪和四游仪，李淳风的创造主要为其中的三辰仪。为了更好地测算太阳和月亮的运动，仪器上安装了黄道环与白道环。而增加两个圆环，就要解决仪器上的黄道与天空黄道在观测时刻的平行问题，要解决岁差改变黄道与赤道的交点问题，还要解决黄道与白道的相对位置和黄白交点移动的问题等等，所以这是一台大大复杂化了的仪器。浑天黄道仪于贞观七年（633）制成并为世所称赞，后将该仪置放在皇宫内的凝晖阁。
开元十一年（7），一行为改历实测天象，与梁令瓒研制了新的天文仪器，叫做黄道游仪。顾名思义，这是一台黄道环能在赤道环内游动的仪器。其基本原理与李淳风的浑天黄道仪相同，不同的是，赤道环上每隔一度有一孔，用以固定黄道环，使黄道环能模仿古人所理解的岁差现象，不断沿赤道退行。一行用黄道游仪作了许多观测工作，为修订大衍历、推算交食等提供了大量准确的数据。通过这台仪器对二十八宿天体位置测量的结果，还发现了恒星位置与古代测量值不相同。这种现象反映了岁差对测定天体位置的影响。
一行还和梁令瓒合作制造了一台水运浑天俯视图。据《旧唐书·天文志》所载，它的主体是一个缀有星象、赤道和刻度的铜球，铜球有轴可以转动，球外设置两个圆环，是为黄道与白道，环上分别有太阳与月球，日月可与铜球同时运行。该仪装在木柜中，并以木柜为地平，仪器半在地下，其运转以水为动力“注水激轮，令其自转，一日一夜，天转一周”。这台仪器除表演天象外还能报时，地平之上立有二木人，每刻自动击鼓，每辰自动撞钟，从而使这台仪器成为具有钟表和表演给定时刻的星象及日月位置功能的多功能综合天文仪器。水运浑天俯视图展现了盛唐时期天文仪器的风貌与特点，北宋苏颂、韩公廉等正是在此基础上加以改进和创新，创制出举世闻名的水运仪象台。
第四节一行的大地测量创举古籍《周礼》说：在地中测影“日至之景，尺有五寸”，《周髀》将它发挥为“日影千里差一寸”。隋代刘焯就怀疑《周髀》的说法未经实测，不一定可靠，很希望用实测结果加以检验。他曾说：“参之算法，必为不可。寸差千里，也无典说。明为意断，事不可依。”他提出的检验办法是：“取河南北平地之所，可量数百里，南北使正，审时以漏，平地以绳，随气至分，同日度影超前显圣，效象除凝。”可惜他的愿望未能实现。
唐开元九年（721），一行受命制定新历，他考虑到由于全国各地昼夜的长短不同，看到同一交食的食分也不相同，这些具体数据都需要经过实测才能确定，日影是否千里差一寸，也是需要检验的。于是，他组织进行了一次大规模的天文测量，其最南方的测点选在林邑（今越南中部），最北方的测点选在铁勒（今蒙古乌兰巴托西南）。其间再设多个测量点，在各测量点上测量北极出地高度和二分二至时正午八尺表的日影长度。在这次测量中，由一行领导、南宫说等人主持的、在河南四个测量点的测量结果最为重要。这四个点分别是白马（今河南滑县，地理纬度35°3′）、浚仪（开封西北，地理纬度34°8′）、扶沟（纬度34°3′）和上蔡（纬度33°8′），它们差不多在一条经度线上，测量的北极高度差实际上就是这四个地点的地理纬度差。由于丈量了四个地点之间的距离，得到南北相距步，北极高度相差1.5度，同一时刻日影相差2.1寸，这一实测结果否定了《周髀》“日影千里差一寸”的说法，同时，由于这一说法以前曾长期作为计算天地远近和天体大小的基本数据，因此，新的测量结果实际上也否定了过去奢谈宇宙大小的各种计算，从而对中国古代天文学发展作出了重大贡献。
一行还从实测中得出了南北两地“大率三百五十一里八十步，而极差一度”①的结论。从现代测量学的理论看，他实际上已经测量出地球子午线一度的弧长。由当时的数据换算成现在的计量单位，可知一行测出的数值是子午线1°的长度为1.7千米，虽然这比今测值110.6千米有较大误差，但作为中国历史上也是世界上第一次用科学方法对地球子午线的实测，是重大的创举。一行所取得的测量结果，本可作为地球是球形的证明，但他没有深究这一测量对地球形状认识的意义，可以说他走到了通过实测证明大地是球形的重大发现的边缘，却未能迈出这重要的一步。
①《新唐书》卷三一《天文志》。
第五节唐代的历法中国古代天文历法至唐代走向成熟，其主要标志是历法进一步规范，历术进步，发现历法与实际天象出现较大误差后能及时编造新历，并出现了许多很有特色的历法。
李渊建唐之初，沿用隋《大业历》。武德二年（619）又颁用傅仁均的《戊寅元历》，开创了中国历史上第一个在民用历中采用定朔法的历法。该历关于日行盈缩、月行迟疾等计算方法，与大业历大致相同。但采用定朔法可能会出现连大月或连小月的特殊现象，如贞观十九年（645）出现了四个连大月，因而《戊寅元历》受到攻击，不得已又改用平朔，失去了其历法的特征。唐高宗麟德二年（665）起，颁用李淳风编造的《麟德历》。《麟德历》是一部著名的历法，有不少创新，在中国历法史上占有重要地位。该历再次采用定朔并独创了一种进朔法，即根据朔日小余数据的具体情况，将朔日上退一日或下推一日，使相应大月变成小月或小月变成大月，从而解决了出现连续四个大月或三个小月的违反日常习惯的问题。《麟德历》还采用“总法”1340作为各天文数据的统一分母，立法巧捷，为后世历家所遵用。《麟德历》的又一创举是正式废除沿袭已久的章蔀纪元之法，不用闰周而直接以无中气之月置闰。由于该历是以《皇极历》为基础而编制的，在推算五星运动时考虑到日月五星的不均匀运动，并吸取了《皇极历》的先进计算方法，且所得数据更为精确。《麟德历》的主要缺点是没有在历法中考虑岁差。这部历法虽然是比较好的历法，但毕竟存在误差。《麟德历》用到开元九年（721）已显疏漏，于是唐玄宗诏令一行编撰新历，于开元十五年编成《大衍历》。这年十月，一行随玄宗巡幸途中病逝。开元十七年（729），《大衍历》正式颁行全国。
《大衍历》分“历议”和“历术”两大部分，历议论述编历的原理，历术则又细分为步中朔术、发敛术、步日躔术、步月离术、步轨漏术、步交会术和步五星术等，这些是说明计算日月五星位置、运动、时刻和日月交食的方法。为了取得制历的数据，一行组织了大规模的天文测量，研制了新的天文仪器，测量了二十八宿距星及许多恒星的位置，对日月五星进行了大量的新的观测，从而使《大衍历》有了深厚的观测基础。通过观测，一行发现：“日南至，日行最急，急而渐损，至春分及中，而后迟。至北日至，其行最舒，而渐益之，以至秋分，又及中，而后益急”，也就是说冬至时日行最急，夏至时日行最缓。这是对太阳周年视运动比较正确的认识，改正了刘焯以春分前一日日行最急，后一日最舒；秋分前一日最舒，后一日最急的错误说法。《大衍历》的重要成就还有在计算太阳运动时创用定气法，发明不等间距二次差内插法的数学方法，用以计算太阳的位置等。与《皇极历》相比，《大衍历》在计算日食的时候，不但考虑了不同地理纬度对日食的影响，还考虑了季节的影响，月亮视差对日食的影响等，并提出判别日食亏起方位角的方法。《大衍历》也吸收了《麟德历》的数学技巧，*****=******3040为通法，从而得到：回归年日；朔望月日；周天＝度的基本数据。《大衍历》完善的体系为******9.******以后各制历家所效仿。
公元762年，因《大衍历》未报代宗宝应元年六月望的月食，改颁郭献之编修的《五纪历》。建中四年（783），又以《正元历》替代了《五纪历》。821年起颁行徐昂编撰的《宣明历》。《宣明历》有一些新发现和新成就，如在日食计算中引出时差、气差和刻差三差，所用近点月与交点月的数值与今采用值相同，是一部较好的历法。唐代最后使用的一部历法是边冈编撰的《崇玄历》，昭宗景福二年（893）颁行。
第六节古代天文文献的收集和整理唐《开元占经》是唐代收集整理古代天文文献资料的一大成就，主编为瞿昙悉达，其祖父原是天竺（今印度）婆罗门僧人，于隋代携全家来中国定居。其父瞿昙罗曾向唐太宗献上《经纬历》，武周圣历元年（698）又献上自编新历《光宅历》。瞿昙悉达供职太史监，担任过太史令。约在开元二年（714）奉旨领导编纂《开元占经》，约历时十年完成了这部有120卷之多的巨著。《开元占经》前两卷辑录了古代天文学家的宇宙理论，从第3卷到第90卷辑录的是对各种天象的占法，第91卷到第102卷辑录了气象占，第103卷为《麟德历经》，104卷为《九执历》，105卷为先秦至开元期间29种历法的基本数据，卷记星图中的星位，最后10卷是杂占。
《开元占经》所集古代天文星占著作不下七八十种，明代程明善曾称赞此书的收录“可谓无遗珠矣”。面对浩瀚的素材，该书的编辑是十分成功的。他采用的方法是先编目录纲要，按照对天地的认识，日月五星和二十八宿及与之相关的占语，星占理论基础（分野和星官），偶见天体及相关的占语，历法，杂占等的顺序，将各家有关的论述纳入相应的章节，使这部书成为经过系统编辑的天文星占资料精粹汇编。《开元占经》直接节录原著原文，未经编者改写，因而保存了大量原始资料，得以传世，其中许多珍贵资料是仅见于此书的，这是这部书的一项重要贡献。《开元占经》中所记载的中国古代天象记录，恒星观测记录，甘、石、巫三家星表的星名和星数，前人历法的主要天文数据，《麟德历》全部内容，《九执历》，历代天文学家对宇宙结构和天体运动的论述以及各种纬书等，也都有重要的研究价值。
另外一部著名的作品是李淳风的《乙巳占》。与《开元占经》相同的是，两者都对大量古代天文星占材料进行了整理，不同的是，《乙巳占》是一部编著而成的作品，是作者综合各家之说并参以经传子史及发挥己见写成的书。全书共10卷，介绍了甘德、唐昧、梓慎、裨灶、箕子、张衡、陈卓、刘表、郗萌、庾季才、袁充、郭璞等近30位星占家的观点，主要内容是分类载述日月五星占、列宿占、彗孛流陨占和气象占等，此外还有候风法，以及适应唐代郡县划分的分野理论，天象记录，天文仪器结构等内容。
经李淳风整理编撰而成的《晋书·天文志》、《隋书·天文志》，也是整理前代天文史料的典范，其所作的概括和总结，内容全面，体系完整，反映了作者“政教兆于人理，祥变应乎天文”的观点。
第七节中外天文学交流无论是从天文历法、天文星占看，还是从天象观测、天文仪器看，隋唐时期都表现出它的成熟，中国古代天文学以历法与星占服务于皇帝的体系得到进一步强化，历法的研究和编历技巧也满足了当时社会的需要。同时，隋唐时期与域外的天文学交流也得到加强，在中外天文学交流方面的成就是很突出的。
前面提到的来自印度定居中国的瞿昙悉达，其一家有四代人在唐代从事过天文工作：其父瞿昙罗曾任太史令，其子瞿昙撰曾任司天监，其孙瞿昙晏曾任司天台冬官正。这种情况一方面是由于瞿昙家族自身的文化素质高，既掌握印度天文历法，又通晓中国的天文学，世代相传，影响至深；另一方面反映出当时重视的是人才，不因其来自异域而受到岐视。
瞿昙悉达不仅主持过天文仪器的修复，编纂过《开元占经》，而且他还于开元六年（718）奉旨译成《九执历》。“九执”就是“九曜”。《新唐书·历志》说：“《九执历》者，出于西域。”这部先于《大衍历》完成的历法其全文后来收入《开元占经》第一○四卷，此外还有《九执历》立成算法2卷，收入张说、陈玄景根据一行的《大衍历草》编成的书中作为附录。《唐会要》卷四二记载说：“洎十五年（727）一行定草，诏说成之。因编以勒成一部：经章十卷，长历五卷，历议十卷，立成算法天竺《九执历》二卷，古今历书二十四卷，略例奏章一卷，凡五十二卷。”瞿昙悉达自己也说：“《九执历》法，梵天所造，五通仙人承习传授”，说明它出自印度，是从精通印度历法的人那里学习来的。据研究，《九执历》是根据几部印度历法编译而成的一部历法。正如他在按语中所说：“今削除繁冗，开明法要，修仍旧贯，缉缀新经，备述算术，具算如左”，从而将印度古代历法较系统地传入中国。《九执历》引进了印度天文学中的一些先进的内容，如周天进位的圆弧度量方法，黄平象限等概念，以及太阳远地点位置、黄白交点运动周期等比汉历精确的数据。其中七曜值日次法，如该历所载：“又置积日，以七除，弃之余，从荧惑月命得之七曜直日次，其七曜直用事法，别具本占”，也是以前汉历所没有的。但当时中国的天文学家并未将《九执历》中的先进内容学到手，吸取到汉历中来。这部历法只是“与《大衍历》相互参奉”，作为参证大衍历的一种方法。
另一部含有七曜内容的历法是《符天历》。《新五代史·司天考》载：“唐建中时，术者曹士始变古法，以显庆五年为上元，雨水为岁首，号《符天历》。世谓之小历，只行于民间。重绩乃用以为法，遂施于朝廷